专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

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【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数与无理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
三、数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（七上苏科）
【考点1】数学与生活
【例1】（2022·江苏泰州·七年级期末）下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是（ ）．
A．500毫克B．500克C．500千克D．500吨
【答案】B
【分析】根据生活常识，即可得到一瓶矿泉水重量．
【详解】解：能反映出一瓶矿泉水重量的是500克．
故选：B．
【点睛】本题考查了数学常识，是基础题型，比较简单．
【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列人或物中，质量最接近1吨的是（ ）
A．1000枚1元硬币B．25名小学生
C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车
【答案】B
【分析】质量单位有：吨、千克、克，本题中结合实际情况选择合适的计量单位即可判断出答案．例如：1名六年级的学生大约重40kg，求出25名学生的重量；1个鸡蛋大约50g，求出5000个鸡蛋的重量等等．
【详解】解：1吨＝1000千克，
A、1元硬币1个大约6 g，1000×6 g＝6000 g＝6kg，故此选项不符合题意；
B、六年级的学生体重大约40kg，25×40kg＝1000kg，故此选项符合题意；
C、1个鸡蛋大约50g，5000×50g＝250000g＝250kg，故此选项不符合题意；
D、1辆家用轿车大约1500kg，10×1500kg＝15000kg，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据情景选择合适的计量单位，联系生活实际、计量单位，算出这些数据的大小再选择是解题的关键．
【变式1.2】（2022·江苏·七年级）如图，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则9英寸长相当于（ ）
A．一支粉笔的长度B．课桌的长度C．黑板的宽度D．数学课本的宽度
【答案】D
【分析】根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3--4厘米，即可估算求解．
【详解】解：根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3--4厘米，
所以9英寸长相当于数学课本的宽度．
故选D．
【点睛】本题属于基础题，考查了基本的计算能力和估算的能力，解答时可联系生活实际去解．
【变式1.3】（2022·江苏·七年级）下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是( )
A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉
【答案】D
【分析】根据中国古代数学家对圆周率的研究逐项判断即可.
【详解】A、祖冲之，他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率π”精算到小数第七位，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献
B、张衡，他研究过球的外切立方体积和内接立方体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开方，这个值比较粗略，但却是中国第一个理论求得π的值
C、刘徽，首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法
D、杨辉，他的数学研究重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法
故选：D.
【点睛】本题考查了关于圆周率的史实，掌握相关史实是解题关键.
【考点2】正数和负数
【例2】（2022·江苏·七年级专题练习）当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．
故选：C
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【变式2.1】（2022·江苏·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（ ）
A．+5B．−5C．+15D．−15
【答案】B
【分析】先明确“正”和“负”所表示的意义，然后根据题意作答即可．
【详解】解：规定：（↑30）表示零上30摄氏度，记作+30；则（↓5）表示零下5摄氏度，记作﹣5．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数表示相反意义，弄清题意、知道“正”和“负”所表示的意义是解答本题的关键．
【变式2.2】（2022·江苏南通·七年级期末）规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←5)表示向左移动5，记作（ ）
A．＋5B．－5C．15D．－15
【答案】B
【分析】根据题意，在表示相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个为负，即可得出答案．
【详解】解：因为(→2)表示向右移动2，记作＋2，
∴则(←5)表示向左移动5，记作－5；
故选B
【点睛】本题考查正负数的概念，解题的关键在于理解相反意义的量．
【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在－3，36，＋25，－0.01，0，−34中，负数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】负数是小于零的数，由此可得出答案．
【详解】解：由负数的概念可以得到－3，－0.01，−34，这三个数是负数，
故选：B
【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键．
【考点3】有理数与无理数
【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，但它既不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零D．一个数不是正数就是负数
【答案】B
【分析】根据有理数的分类依据即可判断．
【详解】A.整数包括正整数、负整数和零，故该选项说法错误，不符合题意；
B.零是整数，但不是正数，也不是负数，故该选项说法正确，符合题意；
C.分数包括正分数、负分数，故该选项说法错误，不符合题意；
D.一个数不是正数就是负数，还有零，故该选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点．
【变式3.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．−2B．1.6C．1.010010001D．2π
【答案】D
【分析】根据无理数的概念即可解答．
【详解】解：A. −2是整数，不是无理数，不符合题意；
B. 1.6是小数，不是无理数，不符合题意；
C. 1.010010001是小数，不是无理数，不符合题意；
D. 2π是无理数，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…等有这样规律的数．
【变式3.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列数中既是分数又是负数的是（ ）
A．5.2B．0C．﹣2D．﹣2.5
【答案】D
【分析】利用分数及负数的分类判断即可得到结果．
【详解】解：A、5.2是分数，但不是负数，故本选项不合题意；
B、0是整数，故本选项不合题意；
C、﹣2是负数，但不是分数，故本选项不合题意；
D、﹣2.5既是分数，又是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查分数和负数，熟练掌握分数及负数的分类是解本题的关键．
【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在-0.8、3.5、23、0、π2、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】有理数包含整数和分数（一般分数、有限小数、无限循环小数），无限不循环不是有理数，以此来判断．
【详解】-0.8与3.5都是有限小数，所以它们都是有理数；
23是分数，所以是有理数；
0是整数，所以是有理数；
π不是有理数，所以π2不是有理数；
3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），看似很有规律，这个数其实是无限不循环小数，所以不是有理数．
综上，有理数有-0.8、3.5、23、0这四个，
故选：D．
【点睛】此题考查有理数的概念，要细致掌握概念，同时注意π不是有理数，是易错点．
【考点4】数轴
【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．2005或2006B．2006或2007C．2007或2008D．无法确定
【答案】C
【分析】根据线段的位置分为两种：起点在整点、不在整点两种，分别得到整点的个数即可．
【详解】依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2008个数（因为相邻两个数之间的距离为1cm，可以参考图1）；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2007个数（可以参考图2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用数轴确定有理数的个数，正确理解题意利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A．1.5B．−1.6C．−2.6D．−3.4
【答案】C
【分析】根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于-3且小于-2，然后分别进行判断即可．
【详解】解：∵点M表示的数大于-3且小于-2．
∴A、B、D三选项错误，C选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴：数轴有三要素，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．
【变式4.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【答案】B
【分析】根据12＜d＜1，得到﹣3d在原点的左侧，且到原点的距离小于3而大于2，对照数轴即可得出答案．
【详解】解：∵12＜d＜1，
∴﹣3d在原点的左侧，且到原点的距离小于3而大于2，
则观察数轴可知：数轴上与数﹣3d对应的点可能是B；
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，数轴上点与原点的距离，数形结合是解题的关键．
【变式4.3】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）
A．b>−a>a>−bB．−a>−b>b>a
C．−b>a>−a>bD．b>a>−a>−b
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置可得a