(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第04讲 平面向量的数乘运算（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
【即学即练1】 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不共线向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则关系式中正确的是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
知识点02 向量数乘的运算律
1．设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【即学即练2】设 SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
答案 4
解析 由题意可知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，所以存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：4
知识点03 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【即学即练3】．已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 所在平面内，满 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 依次是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
答案 A
解析 解：设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 三点共线，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中线 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的三条中线上，即为 SKIPIF 1 < 0 的重心；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，即为 SKIPIF 1 < 0 的外心
综上，点 SKIPIF 1 < 0 依次是 SKIPIF 1 < 0 的重心，外心.故选：A
答疑解惑
向量共线定理中为什么规定a≠0?
答案 若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
能力拓展
考法01 向量的线性运算
【典例1】(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于( )
A．－a B．－b C．－c D．以上都不对
答案 C
解析 原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
反思感悟 向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
【变式训练】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
答案 4b－3a
解析 由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
考法02 用已知向量表示其他向量
【典例2】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)
答案 －eq \f(1,6)a＋eq \f(2,3)b；解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
反思感悟
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
【变式训练】如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a－b B.eq \f(1,2)a＋b C．a＋eq \f(1,2)b D．a－eq \f(1,2)b
答案 D
解析 因为E是BC的中点，所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b，所以eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝a－eq \f(1,2)b.
考法03 向量共线的判定及应用
【典例3】在△ABC中，若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)) C.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
答案 D
解析 示意图如图所示，由题意可得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
反思感悟
(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))(或eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))等)即可．
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
【变式训练】设a，b是不共线的两个向量．
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a－3b，
求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
(1)证明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．
(2)解 ∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，))
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 在 SKIPIF 1 < 0 中由向量加法的三角形法则得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中由向量加法的三角形法则得： SKIPIF 1 < 0
又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在BC边上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近A的三等分点，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
5． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点必在（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 内部B．在直线 SKIPIF 1 < 0 上
C．在直线 SKIPIF 1 < 0 上D．在直线 SKIPIF 1 < 0 上
答案 B
解析 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线∴ SKIPIF 1 < 0 点一定在 SKIPIF 1 < 0 边所在直线上.故选：B．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是任意三个空间向量， SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式中不成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析 对于A，根据向量加法的交换律知 SKIPIF 1 < 0 成立，故A正确；
对于B，根据向量数乘的分配律知 SKIPIF 1 < 0 成立，故B正确；
对于C，根据向量加法的结合律知 SKIPIF 1 < 0 成立，故C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 共线，且 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，才有 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：D
7．在 SKIPIF 1 < 0 中，D为BC上一点.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
解析 由于 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8．已知等边 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
解析 解：因为等边 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：C
9．（多选）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形 SKIPIF 1 < 0 图 SKIPIF 1 < 0 中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底
答案 BCD
解析 对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A选项错误.
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C正确.
对于D选项，由于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不共线，故 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底，所以D正确.
故选：BCD.
10．（多选）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 AC
解析 A选项，由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选：AC．
11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 _________.
答案 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解析 如图， SKIPIF 1 < 0 ,故答案为: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
答案 B
解析 对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若A，B，C三点共线，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若A，C，D三点共线，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2 B．１ C．-2 D．－1
答案 C
解析 解：如图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点中靠近 SKIPIF 1 < 0 的点，
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 中点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，则“ SKIPIF 1 < 0 ”为“点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 重心”（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
答案 C
解析 充分性： SKIPIF 1 < 0 等价于： SKIPIF 1 < 0 等价于： SKIPIF 1 < 0
等价于： SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 重心；
必要性：若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 重心，由重心性质知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故选：C
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B． SKIPIF 1 < 0 C．1或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向共线，则存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
5．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面上的4个定点， SKIPIF 1 < 0 不共线，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹一定经过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
答案 A
解析 解：根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 边的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 的中线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹一定经过 SKIPIF 1 < 0 的重心.故选：A
6．设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 A
解析 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 .如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 故选：A.
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，所以存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．在△ABC中，点D是线段BC的中点，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，若 SKIPIF 1 < 0 ，则λ＋μ＝_________．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 由题意，可作图如下：
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．P是梯形ABCD外一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 法一：设 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0
法二 : 由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的向量，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 （用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示）.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不共线的两个非零向量.若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
答案 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
解析 （1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线可知 SKIPIF 1 < 0 为非零向量，而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，
所以存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
1．点P是 SKIPIF 1 < 0 所在平面上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析 如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 为△ABC内任意一点，若满足 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析 分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE.
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点
SKIPIF 1 < 0 故选：D
3．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 内（不包含边界）的一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 A
解析 解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由等和线性质得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
4．设O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C．8D．6
答案 B
解析 取AC中点D，因为O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________.
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 由 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_________
答案 8
解析
平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，作矩形OADB,根据矩形的性质 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以, 25+25=1+CD2，所以CD=7.由 SKIPIF 1 < 0 ,当O,C,D共线的时候成立.
故答案为:8.
7．已知等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④设M为 SKIPIF 1 < 0 内部(含边界)任一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
其中所有真命题的序号为______．
答案 ①②④
解析 对于①， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴①正确；
对于②，由题意，可知O是 SKIPIF 1 < 0 的重心，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴x＝y＝z＝1，∴②正确；
对于③， SKIPIF 1 < 0 可化为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴③错误；
对于④，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当点M与点A重合时取等号，∴④正确．故答案为：①②④．
8．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部，用 SKIPIF 1 < 0 分别代表 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积，则有 SKIPIF 1 < 0 ．现在假设锐角三角形顶点 SKIPIF 1 < 0 所对的边长分别为 SKIPIF 1 < 0 为其垂心， SKIPIF 1 < 0 的单位向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 课程标准
课标解读
1.了解向量数乘的概念.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法．
1.在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念.
2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法．