2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一上学期期中数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一上学期期中数学试题(含解析 )，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xx0”的必要不充分条件是“x≤-3或x≥2”，则实数a的最大值为
( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
7.已知幂函数fx=-2m2+m+2xm+1为偶函数，若函数y=fx-4a-1x在区间2,4上为单调函数，则实数a的取值范围为
( )
A. -∞,2B. -∞,2∪3,+∞
C. 2,3D. -1,2∪3,+6
8.已知函数fx的定义域为R，且对任意实数x，y，都有fy+fy=2fx+y2fx-y2，f1=-1，则
( )
A. f0=0B. f12=1C. fx为奇函数D. fx为偶函数
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设函数fx=ax-8,x0时，fx=2x2+1x-1，则当xa，关于x的不等式2x+1x-a0，b>0，若4a+b=ab-4，则lg2a-1⋅lg2b-4的最大值为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
(1)化简求值：4lg23-lg37⋅lg79+lg186+lg183；
(2)已知x12+x-12= 5，求x2+x-2的值．
18.(本小题12.0分)
已知集合A=x5≤x≤7，B=xm+1≤x≤2m-1．
(1)当m=3时，求A∪B和A∩B；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
19.(本小题12.0分)
某小微企业生成A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润fx与投资额x成正比，其关系如图1；B产品的利润gx与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资额单位都是万元)．
(1)分别写出fx和gx的函数关系式；
(2)该企业已筹集到28万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这28万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
20.(本小题12.0分)
已知函数fx=3x+mx2+1，x∈R是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数fx在0,1和1,+∞上的单调性并证明；
(3)若对于任意x1,x2∈0,+∞,fx1-fx2+n≤0恒成立，求实数n的取值范围．
21.(本小题12.0分)
已知函数fx=m+1x2-m-1x+m-1．
(1)若不等式fx0，可得x4-a．
由题意，-4-a≤-34-a≥2，解得-1≤a≤2，检验符合题意．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】用幂函数和偶函数定义确定fx，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可．
解：因为函数fx=-2m2+m+2xm+1为幂函数，则-2m2+m+2=1，得m=1或m=-12．
当m=1时，fx=x2为偶函数，符合题意；
当m=-12时，fx=x12= x为非奇非偶函数，不合题意，
所以，fx=x2，
则y=x2-4a-1x，对称轴为直线x=2a-1．
①若函数y=x2-4a-1x在2,4上为增函数，则2a-1≤2，解得a≤2；
②若函数y=x2-4a-1x在2,4上为减函数，则2a-1≥4，解得a≥3．
综上所述，实数a的取值范围是-∞,2∪3,+∞
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
解：令x=y=1，则2f1=2f1f0，∵f1=-1，∴f0=1，选项 A错误；
令x=1，y=0，则f1+f0=2f12f12，即2f212=-1+1=0，则f12=0，选项 B错误；
∵f0=1，∴f0不是奇函数，选项 C错误；
令y=-x，则fx+f-x=2f0fx，即fx+f-x=2fx，故f-x=fx，fx为偶函数，选项 D正确；
故选：D．
9.【答案】AB
【解析】【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性即可得解．
解：依题意，当x0，
当x≥4时，fx=x2-2ax=x-a2-a2为增函数，则a≤4，
又fx为增函数，则a×4-8≤42-2a×4，解得a≤2，
综上：00时，fx=2x2+1x-1，当x0，
所以f-x=2-x2+1-x-1=2x2-1x-1，
又因为fx是定义在R上的奇函数，所以fx=-f-x=-2x2+1x+1，所以 D错误．
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】AB选项利用基本不等式即可；C利用“1”的代换和基本不等式即可；D先分离常数再用“1”的代换和基本不等式即可．
解：对于选项A，a+1ab+1b≥2 a⋅1a⋅2 b⋅1b=4，当且仅当a=1，b=1时等号成立．此时a+b≠1，所以a+1a⋅b+1b>4，所以 A正确：
对于选项B， 1+a+ 1+b≤ 2⋅ 1+a2+ 1+b2= 6，当且仅当a=b=12时等号成立，所以 B正确．
对于选项C，1a+2b=a+b1a+2b=3+ba+2ab≥3+2 ba⋅2ab=3+2 2，当且仅当b= 2a，且a+b=1，即a= 2-1，b=2- 2时等号成立，所以1a+2b的最小值为3+2 2，所以 C错误．
对于选项D，ab+4a+b4a+b=ab4a+b+1=14b+1a+1．1a+4b=a+b1a+4b=3+ba+4ab≥5+2 ba⋅4ab=9，当且仅当b=2a，且a+b=1，即a=13，b=23时等号成立，所以ab+4a+b4a+b的最大值为109，所以 D正确．
故选：ABD
12.【答案】ACD
【解析】【分析】根据黎曼函数的定义，可判断A、B项；分为0，1，0,1之间的无理数以及0,1之间的有理数四种情况，分别讨论，即可判断C项；根据黎曼函数的定义，a与b不都为0,1内的有理数以及a与b都为0,1内的有理数讨论，即可判断D项．
解：对于A项，因为23为最简真分数，由定义，可知选项 A正确；
对于选项B，当n=1时，x=12是方程Rx=12的实数根，所以 B错误；
对于选项C，
若x为0,1上的无理数，则1-x也为0,1上的无理数，此时Rx=0=R1-x；
若x=1，则1-x=0，此时Rx=R1-x；
若x=0，则1-x=1，此时Rx=R1-x；
若x为0,1上的有理数，设(其中p，q为正整数，pq为最简真分数)，则Rx=1q，此时1-x=q-1q也为有理数，且q-1q为最简真分数，此时R1-x=1q，所以 C正确；
对于选项D，①若a与b中至少一个为0或1或0,1中的无理数时，
则RaRb=0，而Rab≥0恒成立，满足Rab≥RaRb；
②若a与b都为0,1内的有理数时，设a=p1q1，b=p2q2(p1,p2,q1,q2为正整数，p1q1，p2q2为最简真分数)，所以Ra=1q1，Rb=1q2．
又ab=p1p2q1q2，当p1q1⋅p2q2能约分时，ab写成既约真分数分母小于q1q2，设为(即q01q1q2=RaRb；
当p1q1⋅p2q2不能约分时，Rab=1q1q2=1q1⋅1q2=RaRb．
综上，可知Rab≥RaRb成立， D正确．
故选：ACD．
13.【答案】x2-3x+3
【解析】【分析】利用换元法即可得到答案．
解：令x+1=t，则x=t-1，所以ft=t-12-t-1+1=t2-3t+3．
所以fx=x2-3x+3．
故答案为：x2-3x+3．
14.【答案】103
【解析】【分析】将y=2x2-2x+3x2-x+1采用分离常数法得到y=2+1x2-x+1，然后当x2-x+1取到最小值时，函数有最大值，即得到答案．
解：y=2x2-2x+3x2-x+1=2+1x2-x+1，因为x2-x+1=x-122+34≥34，
所以2x2-2x+3x2-x+1≤2+43=103，当x=12时等号成立，所以ymax=103．
故答案为：103．
15.【答案】0,+∞
【解析】【分析】把问题转化为命题“∀x>a，关于x的不等式2x+1x-a≥2 2成立”，再结合基本不等式求得最小值，从而可得2a+2 2≥2 2，求解即可．
解：依题意，命题“∀x>a，关于x的不等式2x+1x-a≥2 2成立”，
当x>a时，2x+1x-a=2x-a+1x-a+2a≥2× 2x-a⋅1x-a+2a=2a+2 2，
当且仅当2x-a=1x-a，即x=a+ 22时取等号，
因此2a+2 2≥2 2，解得a≥0，
所以实数a的取值范围是0,+∞．
故答案为：0,+∞．
16.【答案】94
【解析】【分析】根据已知推得b-4>0，a-1>0，a-1b-4=8.进而得出lg2a-1+lg2b-4=3，然后即可根据基本不等式，得出答案．
解：由4a+b=ab-4得b-4a=b+4．
又a>0，b>0，所以b-4>0．
同理可得a-1>0．
因为 4a+b=ab-4，
所以ab-4a-b=4，所以a-1b-4=8．
又lg2a-1+lg2b-4=lg2a-1b-4=lg28=3．
当a-1>1，且b-4>1时，即lg2a-1>0，lg2b-4>0．
由基本不等式知lg3a-1⋅lg3b-4≤lg3a-1+lg3b-424=94．
当且仅当lg2a-1=lg2b-4，即a-1b-4=8a-1=b+4,
即a=1+2 2，b=4+2 2时等号成立．
当0