数列的基本概念与性质 专题-2024届高三数学一轮复习

这是一份数列的基本概念与性质 专题-2024届高三数学一轮复习，共4页。
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
注：an与Sn关系的应用策略
(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！
【解题方法总结】．消Sn/消an/内部消化/隐藏的Sn
1.已知数列的前项和为，若，()，则______.
2.数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有eq \f(2an,anSn－S\\al(2,n))＝1成立，则S2 019＝________.
3.设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．数列为等差数列D．－5050
4.等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．的通项公式为 ；
5.数列满足，则数列的通项公式为________.
6.已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且.则______.
题型二：数列的周期性
【解题方法总结】解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
7．在数列中，，对所有的正整数都有，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：数列的单调性
【解题方法总结】解决数列的单调性问题的3种方法
8．设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件
9．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10.已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：数列的最大（小）项
【解题方法总结】求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．
11.数列中，，则此数列最大项的值是__________．
12．已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ）
A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项
13．数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______．
14.已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（ ）
A．2B．3C．4D．不存在
题型五：数列的恒成立问题
【解题方法总结】分离参数，转化为最值问题．
15．已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．
16．已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为______．
高三数列专题：数列的基本概念与性质答案
1.【解析】当时，；当时，，，
数列从第二项开始为等比数列，；经检验：不满足.综上所述：.
2.【解析】 当n≥2时，由eq \f(2an,anSn－S\\al(2,n))＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－Seq \\al(2,n)＝－SnSn－1，所以eq \f(2,Sn)－eq \f(2,Sn－1)＝1，又eq \f(2,S1)＝2，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,Sn)))是以2为首项，1为公差的等差数列，所以eq \f(2,Sn)＝n＋1，故Sn＝eq \f(2,n＋1)，则S2 019＝eq \f(1,1 010).
3.【答案】A【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D.
【详解】是数列的前n项和，且，则， 整理得－＝－1（常数），所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；所以，故．所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；所， 故D正确．故选：A.
4.【答案】(1)【分析】由，，成等差数列得出，再根据与的关系得出，即可求出的通项公式；【详解】（1）由，，成等差数列知，即，所以，即，因为是首项为，公比为的等比数列，所以，所以的通项公式
5.【答案】【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解.【详解】由题意 …①， ， …②，
②①得： ，则当时，，
当，不适合上式. ；故答案为：
6.【详解】当时，，即，因为，所以，
两式相减得，因为，所以，所以是以1为首项，4为公差的等差数列，是以3为首项，4为公差的等差数列，所以，，故.
7.【答案】B【解析】由得，两式相加得，，
是以6为周期的数列，而，.故选：B.
8.【答案】A【解析】数列中，对任意，，则，所以数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，即，所以，，
如数列不满足题意，必要性不成立；所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：A
9.【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断
【详解】若数列为递增数列，则
，即由，所以有，反之，当时，，则数列为递增数列，
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件，故选：C.
10.【答案】A【解析】由可得，
两式相减可得，则，当时，可得满足上式，故，
所以，因数列为单调递增数列，即，则整理得，令，则，当时，，当时，，
于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．故选：A
11.【解析】设，则该数列当时，取最大值，又因为，而，故当或时，此数列取最大项，其值为，，故此数列最大项的值是：故答案为：
12.【答案】C【分析】作商当时，；反之.解出的值即可.
【详解】因为令，得，解得．
所以当时，，即，
当时，，即，因此当时，最大．故选：C.
13.【答案】【解析】当时，单调递增，因此时，取得最大值为，
当时，，因为是中的最大项，所以解得，故答案为: .
14.【答案】B [分析】先求得，利用导数求得当时，的单调性，从而确定正确答案.
【详解】依题意，构造函数，
，由于，所以在上恒成立，所以在区间上递减，所以当时，是单调递减数列，
所以的最大值为.所以取得最大值时n为.故选：B
15.【答案】5【解析】如图，为和的图象，设两个交点为，，
因为，所以，因为，，所以，结合图象可得，当时，，即，当时，，即，所以当时，取得最大值，即.故答案为：5.
16.【答案】/1.5【解析】∵，
∴数列为单调递减数列，．从而，即k的最小值为．
作差比较法
根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断