数学必修 第一册2.2 基本不等式习题

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式习题，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是( )
A.若，则
B.若，则由知，的最小值为1
C.若，则
D.若，则
2、已知，，，则的最小值是( )
A.B.4C.D.5
3、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4、若实数x，y满足：，，则的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
5、当时，函数的最小值为( )
A.B.C.D.4
6、若正数x、y满足，若不等式的恒成立，则m的最大值等于( )
A.4B.C.D.8
7、若，，，则的最大值为( )
A.B.C.D.
8、已知正数a，b满足，则的最小值为( )
A.36B.42C.49D.6
二、多项选择题
9、下列函数的最小值为4的有( )
A.B.
C.D.
10、设正实数a，b满足，则( )
A.有最小值4B.有最小值
C.有最大值D.有最小值
11、若，，，则的可能取值有( )
A.B.C.D.
12、若，，且，下列结论正确的是( )
A.mn的最大值为B.的最小值为5
C.的最小值为D.的最大值为
三、填空题
13、已知，则的最大值是_________.
14、已知，，，则的最小值为___________.
15、若正数a，b满足，则的最小值是___________.
16、已知正实数a，b满足，则的最小值为__________.
四、解答题
17、若实数，，且满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
18、（1）已知，求的最大值.
（2）已知，求的最大值.
（3）已知，求的最大值.
19、（1）已知，，且满足.求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（3）已知，，求的最大值.
20、已知，，，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
21、某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
（1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
22、某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
（1）求年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；
（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
参考答案
1、答案：D
解析：对于A，，，当，时，，当且仅当等号成立，
当，时，，当且仅当等号成立，
当a，b异号时，，当且仅当即等号成立，故A错误；
对于B，当，则由，当且仅当，显然等号不成立，故错误，
对于C，若，则，当且仅当即等号成立，故C错误；
对于D，若，则，当且仅当或等号成立，故D正确.
故选：D.
2、答案：C
解析：，，，，
（当且仅当时等号成立），
故选：C.
3、答案：D
解析：因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为3.因为当时，不等式恒成立，所以.故选：D.
4、答案：A
解析：因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即，
当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.
5、答案：B
解析：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.
6、答案：A
解析：已知正数x、y满足，可得，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为4，.因此，实数m的最大值为4.故选：A.
7、答案：C
解析：因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即的最大值为，故选：C.
8、答案：C
解析：正数a，b满足，则有，
，
当且仅当且，即，时取等号，即的最小值为49.
故选：C.
9、答案：AB
解析：对于A，，当且仅当时等号成立，
，故A正确；
对于B，，当且仅当即时等号成立，
故B正确；
对于C，，
因为无解，故等号不成立，故不是4，故C错误.
对于D，，取，则，故D不正确.
故选：AB.
10、答案：ACD
解析：选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；
选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；
选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；
选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD.
11、答案：CD
解析：原式
（当且仅当，时取等号）.故选：CD.
12、答案：ABC
解析：选项A，因为，，，所以，当且仅当，即，时等号成立，故该选项正确；
选项B，因为，，当且仅当，即，时等号成立，故该选项正确；
选项C，，当且仅当且，即，时等号成立，故该选项正确；
选项D，，当且仅当，即，时等号成立，故该选项错误；
故选：ABC.
13、答案：
解析：，，当且仅当时等号成立，
的最大值是.
14、答案：
解析：，
当且仅当，即取等号，故答案为：.
15、答案：
解析：设，，则，，可得，
所以
，
当且仅当，时，等号成立，取得最小值.故答案为：.
16、答案：
解析：由有，则，当且仅当，即，时取等号.故答案为：.
17、答案：（1）4
（2）4
解析：（1），，，
即，解得，当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
（2），，
，当且仅当时，等号成立.即的最小值为4.
18、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1），.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故当时，.
（2），.
，
当且仅当，即时，等号成立.故当时，.
（3），.
根据基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立.故当时，.
19、答案：（1）18
（2）9
（3）
解析：（1）由，，，
可得；
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为18.
（2）不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，
因此，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即实数m的最大值为9.
（3）令，，，可得，，
所以，；
当且仅当时，上式取得等号，可得的最大值为.
20、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为，，，且，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当时等号成立，故而得证；
（2）证明：因为，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
又因为，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故而得证.
21、答案：（1）
（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元
解析：（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，
每万件销售价为：，
年销售收入为，
年利润.
（2）令，则.
，，即，
当且仅当，即时，W有最大值42，此时.
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.
22、答案：（1）
（2）当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元
解析：（1）当时，；
当时，.
所以.
（2）当时，，
故当时，t取得最大值，为625，
当时，因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即当时，t取得最大值，为1040，
综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.