2022-2023学年高二上学期期中模拟卷（选择性必修第一册）（提升卷）

这是一份2022-2023学年高二上学期期中模拟卷（选择性必修第一册）（提升卷），共19页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，已知F为双曲线C，在空间直角坐标系中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．四面体中，，点在上，且，为中点，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意画出如下图形：
为中点，则，，则，
∴.
故选：B.
2．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，直线与直线平行，
所以，直线的斜率为，
因为直线经过点，
所以，直线的方程为：，即
故选：A
3．已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是
（ ）
A． B．或C． D．
【答案】B
【解析】
因为直线，如图
直线：即恒过，
而，
因为直线与线段相交，结合图形，
故直线的斜率的范围为：或．
故选：B
4．已知半径为的圆经过点，则其圆心到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，圆心的轨迹方程为，则其圆心到点的距离的最大值为.
故选：C.
5．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则且，
故，
故，，，
设平面的法向量为，则：
由可得，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
故选：B.
6．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（ ）
A．B．平面
C．D．是锐角
【答案】D
【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，，
，，
所以，A正确；
因为，平面，平面，
所以平面，B正确；
，
所以，
所以，C正确；
，
当时，，
此时为钝角，故D错误.
故选：D
7．若直线与椭圆交于点，，线段中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】设，则，两式相减可得，
整理可得，由线段中点为，则，
故直线的斜率.
故选：B.
8．已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取双曲线右焦点F2，连接PF2，由题知，，所以
在中，，所以，所以
记，则由双曲线定义和余弦定理可得
，解得
因为M为线段FP的中点，所以
所以
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【解析】当时，，解得：，故A错误；
令，则，，故B正确；
，所以，解得：，故C正确；
当，，
因为，，故D正确．
故选：BCD
10．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B． 点到平面的距离是
C． 异面直线与所成角的余弦值为
D． 与平面所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】因为，，所以，A错误．
在空间直角坐标系中，结合与两点的坐标可知轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点到平面的距离是，B正确．
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．
设与平面所成的角为，，则，D正确．
故选：BD
11．已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若点到直线的距离为，则
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【解析】因为，是圆O：上两点，
当时，为正三角形，所以，A正确；
点到直线的距离为时，，B错误；
的值可转化为单位圆上的到直线
的距离之和，又，
所以为等腰三角形，设是的中点，
则，且，
则在以点为圆心，半径为的圆上，
两点到直线的距离之和为
点到直线的距离的倍，
点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
最小值为，则两点到直线的距离之和
最大值为，最小值为.
所以的最大值为，
最小值为，C错误，D正确；
故选：AD
12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最大值是D．的周长存在最大值
【答案】ABC
【解析】由题意得半圆的方程为，
设椭圆的方程为，所以 ，
所以椭圆的方程为．
A．椭圆的离心率是，所以该选项正确；
B． 当时，；当时，，
所以线段AB长度的取值范围是，所以该选项正确；
C．由题得面积，
设，
设，所以，
所以
，当且仅当时等号成立，所以该选项正确；
D．的周长，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，所以的周长没有最大值，
所以该选项错误．
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为___________
【答案】或.
【解析】由圆的方程，得，
则圆心坐标为，半径为，
当直线的斜率不存在时，直线：，与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线：，即，
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，
即，解得，所以：；
综上，直线的方程为或.
故答案为：或.
14．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.
【答案】
【解析】因为点，分别是、的中点，
所以，，
，
，
所以.
故答案为：
15．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
【答案】【解析】过作准线的垂线，垂足为，易知：，
可得，如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以.
故答案为：
16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.
①直线平面，
②三棱锥的体积为定值，
③异面直线与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】①②④
【解析】对于①，连接，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，所以①正确，
对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点在线段上运动，所以点到平面距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以②正确，
对于③，连接，因为∥，所以异面直线与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，所以当点位于点或点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，此时与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以③错误，
对于④，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，
所以，设平面的法向量为，则，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
，
当时，直线与平面所成角的正弦值最大，最大值为，所以④正确，
故答案为：①②④
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【解析】（1）因为点是的重心，所以
因为点是线段的中点，所以.
因为正四面体的棱长为，
所以,
所以
，
所以.
（2）
，
所以.
18．（12分）
已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求直线的方程.
【解析】（1）证明：直线的方程可化为，
令，解得
所以无论取何值，直线总经过定点.
（2）由方程知，当时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
要使直线不经过第四象限，则必须有
解得；
当时，直线为，符合题意，
故的取值范围是.
（3）由题意可知，再由直线的方程，
得.
依题意得解得.
因为
所以，
所以直线的方程为.
19．（12分）
在平面直角坐标系中，已知，，为三个不同的定点，且，，不共线，以原点为圆心得圆与线段，，都相切.
(1)求圆的方程及，的值；
(2)若直线：与圆相交于，两点，且，求的值.
【解析】（1）因为圆与相切，所以半径等于到的距离．
直线，所以，圆．
圆与相切，，所以直线，所以．
直线
到的距离为1，所以或（舍
所以．
（2）设，，，，因为，在直线上，所以，．
联立得，所以．
则．
20．（12分）
如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）
(1)若，设平面面，求证：；
(2)当平面与平面夹角为，试确定点的位置.
【解析】（1）由题知面面，则，
由为底面圆的直径，则，
由，面，
面，
又∵面，∴，
又，面，
面，
又∵面，故.
由，在中，由射影定理：，
故面面,
∴面，又面面，面，
∴.
（2）由（1）知，以为原点为轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
设，，
设面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量
设平面与平面的夹角为，则，
解得或，
其中时重合，不合题意，
故当平面与平面夹角为时，此时为中点.
21．（12分）
已知抛物线：，直线过点.
(1)若与有且只有一个公共点，求直线的方程；
(2)若与交于，两点，点在线段上，且，求点的轨迹方程.
【解析】（1）当直线斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由，得.
当时，直线符合题意；
当时，令，解得，
∴直线的方程为，即.
综上，直线的方程为，或，或.
（2）解法一：设，，，不妨令，
∵直线与抛物线有两个交点，∴，
∴，且，，.
由，得，∴，
∴，∴.
∵，且，∴，且，
∴点的轨迹方程为（，且）.
解法二：设，，，不妨令，
∵直线与抛物线有两个交点，∴，
∴，且，，.
∵点在线段上，设，则，，
∴，∴，∴，∴.
∵，且，∴，且，
∴点的轨迹方程为（，且）.
22．（12分）
如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.
(1)若的面积为，求直线AB的方程；
(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.
【解析】(1)由题得，解得，所以椭圆的方程为，
等轴双曲线的方程为.
由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：，
联立，消去得，
所以，又，所以，则
将换成，得，所以，
设，
由，消去得，
，所以得，
则，，，
所以，解得，
所以直线AB的方程为；
(2)由，消去得，解得，
所以，
，，则，
，，
所以的取值范围为．