2022-2023年北京东城高一数学上学期期末试卷及答案

这是一份2022-2023年北京东城高一数学上学期期末试卷及答案，共5页。试卷主要包含了在一个周期内的简图时，列表如下等内容，欢迎下载使用。

1.（单选题，3分）已知全集U={1，2，3，4}，A={1，3}，则∁UA=（ ）
A.{1，2}
B.{2，3}
C.{2，4}
D.{3，4}
【答案】：C
2.（单选题，3分）在直角坐标系xOy中，已知 ，那么角α的终边与单位圆⊙O坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
3.（单选题，3分）已知实数x，y满足x2+y2=2，那么xy的最大值为（ ）
A.
B.
C.1
D.2
【答案】：C
4.（单选题，3分）函数 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
5.（单选题，3分）设cs28°=a，则cs62°=（ ）
A.-a
B.a
C.
D.
【答案】：C
6.（单选题，3分）函数f（x）= -lnx的零点所在的区间为（ ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
【答案】：B
7.（单选题，3分）设a=lg34，b= ，c= ，则（ ）
A.a＜b＜c
B.b＜c＜a
C.c＜a＜b
D.c＜b＜a
【答案】：D
8.（单选题，3分）“xy=0”是“x2+y2=0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】：B
9.（单选题，3分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的简图时，列表如下：
则f（x）的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
10.（单选题，3分）已知函数f（x）=ln（ax-b）的定义域是（1，+∞），那么函数g（x）=（ax+b）（x-1）在区间（-1，1）上（ ）
A.有最小值无最大值
B.有最大值无最小值
C.既有最小值也有最大值
D.没有最小值也没有最大值
【答案】：A
11.（填空题，3分）函数y=sin2x的最小值为 ___ ．
【答案】：[1]-1
12.（填空题，3分）已知幂函数f（x）=xα（α是常数）的图象经过点（2，4），那么f（-2）=___ ．
【答案】：[1]4
关键．
13.（填空题，3分）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且f（3+2a）＜f（2），那么实数a的取值范围为 ___ ．
【答案】：[1]（-∞，- ）
14.（填空题，3分）已知函数 ，且关于x的方程f（x）=t有且仅有一个实数根，那么实数t的取值范围为 ___ ．
【答案】：[1][1，2）
15.（填空题，3分）设函数f（x）=lga（|x|+1）（a＞1），则f（x）是 ___ （填“奇函数”或“偶函数”）；对于一定的正数T，定义 ，则当 时，函数fT（x）的值域为 ___ ．
【答案】：[1]偶函数; [2]（-
16.（问答题，8分）已知集合A={x|x≤4}，集合B={x|m-1≤x≤m+1，m∈R}．
（Ⅰ）当m=4时，求A∩B；
（Ⅱ）当A∩B=∅时，求m的取值范围．
【答案】：
解：（Ⅰ）当m=4时，集合B={x|m-1≤x≤m+1，m∈R}={x|3≤x≤5}，
又A={x|x≤4}，
所以A∩B={x|3≤x≤4}=[3，4]．
（Ⅱ）若A∩B=∅，
则m-1＞4，
解得m＞5，
∴实数m的取值范围（5，+∞）．
17.（问答题，10分）已知函数f（x）=x2+ax+4（a∈R）．
（Ⅰ）若f（1）=0，求不等式f（x）≤0的解集；
（Ⅱ）若f（1）=2，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值；
（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】：
解：（Ⅰ）因为f（x）=x2+ax+4且f（1）=0，所以a+5=0，解得a=-5，
所以f（x）=x2-5x+4，
由f（x）≤0，得f（x）=x2-5x+4≤0，即（x-4）（x-1）≤0，解得1≤x≤4，
即原不等式的解集为[1，4]；
（Ⅱ）因为f（1）=2，所以a+5=2，所以a=-3，
所以f（x）=x2-3x+4=（x- ）2+ ，
因为x∈[-2，2]，
所以函数在[-2， ]上单调递减，在（ ，2]上单调递增，
所以当x= 时函数取得最小值f（x）min=f（ ）= ；当x=-2时函数取得最大值f（x）max=f（-2）=14；
（Ⅲ）因为对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，
即对任意x∈（0，+∞），不等式x2+ax+4＞0恒成立，
即-a＜x+ 对任意x∈（0，+∞）恒成立，
因为x+ ≥2 =4，当且仅当x= ，即x=2时取等号；
所以-a＜4，即a＞-4，
所以a∈（-4，+∞）．
18.（问答题，10分）已知函数 的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件 ① ：f（x）的图象关于点 对称；
条件 ② ：f（x）的图象关于直线 对称．
（Ⅰ）请写出你选择的条件，并求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的单调递增区间．
【答案】：
解：因为函数 的最小正周期为π，
所以ω= =2，
选择条件 ① ：
（Ⅰ）因为f（x）的图象关于点 对称，
所以2• +φ=kπ，k∈Z，所以φ=- +kπ，k∈Z，
因为- ＜φ＜ ，所以φ= ，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+ ）．
选择条件 ② ：
（Ⅰ）因为f（x）的图象关于直线 对称，
所以2• +φ= +2kπ，k∈Z，所以φ= +2kπ，k∈Z，
因为- ＜φ＜ ，所以φ= ，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+ ）．
（Ⅱ）令2x+ ∈[2kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z，
所以x∈[kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z．
19.（问答题，10分）已知函数 ．
（Ⅰ）判断f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-k（k为常数）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，当 时，求k的取值范围．
【答案】：
【解答】：解：（Ⅰ）f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，证明如下，
任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）= -
= ，
∵0≤x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x2+x1＞0， +1＞0， +1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在区间[0，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-k（k为常数）的零点即方程f（x）-k=0（k为常数）的解，
解方程 -k=0得，x=± （0＜k＜2），
∵x1＜x2， ，
∴- ＜- ，故0＜k＜ ，
故k的取值范围为（0， ）．
20.（问答题，8分）人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型 是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（x=1时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；x=2时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；d0是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；e=2.71828⋅⋅⋅．
下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：
（Ⅰ）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：e-0.26≈0.77，结果保留一位小数）；
（Ⅱ）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的 ，求该环是这个城市的多少环．
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
【答案】：
解：（I）∵ 且2006年d0=2.2，b=0.13，
∴ ，
当x=2时， ≈1.7，
故该市2006年2环处的人口密度为1.7．
（II）2016年 ① ，
∵2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的 ，
∴ ② ，
联立 ① ② 可得， ，两边同时取对数可得，-0.1x=ln2-ln3≈0.7-1.1=-0.4，解得x=4，
故该环是这个城市的4环．
21.（问答题，9分）已知定义在R上的函数f（x）满足：
① 对任意实数x，y，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）； ② 对任意x∈[0，1），f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（1）=0，直接写出f（x）的所有零点（不需要证明）．
【答案】：
解：（Ⅰ）令x=0，y=0，则f（0）+f（0）=2f（0）f（0），
可得f（0）[f（0）-1]=0，因为对任意x∈[0，1），f（x）＞0，
所以f（0）=1．
（Ⅱ）f（x）是偶函数，证明如下：
令x=0，y为任意实数，则f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），
即f（-y）=f（y），所以f（x）是偶函数．
（Ⅲ）若f（1）=0，令y=0，则f（x+1）+f（x-1）=2f（x）f（1）=0，
即f（x+1）=-f（x-1），
则f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
又f（-1）=f（1）=0，
所以f（x）的所有零点为2n+1，n∈Z．
ωx+φ
π
2π
x
y
2
-2
年份
d0
b
2006
2.2
0.13
2016
2.3
0.10