江西九江市同文中学2022-2023学年高二上学期期中数学达标测评卷试题（B卷）

这是一份江西九江市同文中学2022-2023学年高二上学期期中数学达标测评卷试题（B卷），共8页。
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可．
【详解】解：某7个数的平均数为，方差为，
则这8个数的平均数为，
方差为．
故选：．
【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题．
2. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，
高中生的近视人数为，故选B.
【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.
3. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
4. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62%B. 56%
C. 46%D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【解析】
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
6. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】模拟执行程序框图，直到时满足判断框要求输出结果，由此可确定判断框内的条件.
【详解】模拟执行程序框图，
输入，，不满足，则，，需不满足判断框，循环；
不满足，则，，需不满足判断框，循环；
不满足，则，，需不满足判断框，循环；
不满足，则，，需不满足判断框，循环；
满足，则，，需满足判断框，输出；
判断框中的条件应为：.
故选：C.
7. 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，为大圆的内接等腰直角三角形，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据月牙定理，圆和扇形面积公式求出阴影部分的面积和整个几何图形的面积，然后用几何概型求概率的公式求概率即可.
【详解】设大圆的半径为1，由月牙定理得上面影部分的面积，下面阴影部分的面积，故.又整个几何图形的面积，所以该点落在图中阴影部分的概率为.
故选：B.
8. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.
【详解】由，，
的频率为，①正确；
的频率为，②正确；
的频率为，的频率为，
中位数在且占该组的，
故中位数为，③正确.
故选:D.
点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题
9. 已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：
根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为（ ）
A. 40.5万元B. 41.5万元C. 42.5万元D. 45万元
【答案】C
【解析】
【分析】利用平均数的公式及样本的中心在回归直线方程上，求出回归直线方程，再将代入回归直线方程即可求解.
【详解】由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，
所以回归直线方程为，将代入，得.
所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.
故选:C.
10. 2021年高考成绩揭晓在即，某学生高考前8次数学模拟考试成绩如表所示，
根据考试成绩y与考试次数x的散点图可知，满足回归直线方程.若将2021年的高考看作第10次模拟考试，根据回归直线方程预测今年的数学高考成绩为（ ）
A. 100B. 102C. 112D. 130
【答案】C
【解析】
【分析】计算出样本中心点，代入回归直线方程，求出，从而得到线性回归方程，再代入求出结果.
【详解】因为，
，
所以回归直线过点，
代入回归直线方程得，
，
则回归直线的方程为，
当时，得.
故选：C.
11. 某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率分布直方图得到内有2人，内有4人，然后列举出所有的基本事件，用古典概型求概率的公式求概率即可.
【详解】由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.
故选：B.
12. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.
【详解】运行程序，不满足，，
，不满足，，
，不满足，，
，不满足，，
，不满足，，
，满足，利用裂项求和得：
.
故选：B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 如图，茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则，y的值分别为_________.
【答案】6，8
【解析】
【分析】先利用甲组数据的中位数求出，再利用乙组数据得平均数求出即可.
【详解】因为甲组数据的中位数为106，所以第三名学生的成绩为中位数106，得.
又因为乙组数据的平均数为105.4，所以，解得.
故填：6，8
14. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
【答案】
【解析】
【详解】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率 ．
15. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果______________.
【答案】1019090
【解析】
【分析】根据程序框图的功能求输出结果即可.
【详解】根据程序框图可得，程序框图的功能是计算并输出的值，则，故输出的结果.
故答案为：1019090.
16. 记表示不超过m的最大整数，若在区间上随机取一个数x，则为奇数的概率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义得到时，为奇数，然后再结合几何概型求概率的方法求概率即可.
【详解】当时，，因此当且仅当，即时，为奇数，这两个区间的长度之和为故为奇数的概率.
故答案为：.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在数学考试中，小王的成绩在90分以上（含90分）的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，在60分以下（不含60分）的概率是0.07.求：
（1）小王在数学考试中取得80分以上（含80分）成绩的概率；
（2）小王数学考试及格的概率.
【答案】（1）0.69；（2）0.93.
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；
（2）利用对立事件的概率求解.
【详解】设小王的成绩在90分以上（含90分）､在80~89分､在60分以下（不含60分）分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥.
（1）设小王的成绩在80分以上（含80分）为事件D，则D=A+B，
所以P（D）=P（A+B）=P（A）+P（B）=0.18+0.51=0.69.
（2）设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，
所以P（E）=1-P（C）=1-0.07=0.93.
18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
【答案】（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.
（2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.
（3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，
解得a=0.03.
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，
∵该校高一年级共有学生640人，
∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.
（3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.
若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
则所有基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.
如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.
如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.
∴所求概率为P(M)=.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19. 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S =" x" + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.
【答案】(Ⅰ) 0.6 (Ⅱ) (1) 15种(2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）首先将3项指标相加，求出综合指标S.然后找出其中的产品，便可估计出该批产品的一等品率.（2）（1）根据（1）题结果可知，、、、、、为一等品，共6件.从这6件一等品中随机抽取2件产品的所有可能结果为：，，，，共15种.（2）在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为、、、，则事件B发生的所有可能结果为共6种.由古典概型概率公式可得事件B发生的概率.
试题解析：（1）10件产品的综合指标S如下表所示：
其中的有、、、、、，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该批产品的一等品率为.
（2）（1）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，，，共15种.（2）在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为、、、，则事件B发生的所有可能结果为共6种.所以.
考点：1、频率；2、基本随机事件；3、古典概型.
20. 已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，
设变量满足回归直线方程.
（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测该生2021年的高考的成绩；
（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，其中2次成绩大于500分的概率.
参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（1）511 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题中公式求出，从而可求得回归方程，再将代入，即可得出答案；
（2）利用古典概型概率公式即可得出答案
【小问1详解】
解：，
则，，
所以，，
所以回归方程为，
当时，，
所以预测该生2021年的高考的成绩为511；
【小问2详解】
解：上面的5次考试成绩中，成绩大于500分的有2次，
则2次成绩大于500分的概率为.
21. 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩（单位：分）如下：
男：165 166 168 172 173 174 175 176 177 182 184 185 193 194
女：168 177 178 185 186 192
公司规定：成绩在180分以上（包括180分）者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数．
（2）如果用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
【答案】（1）中位数是175.5，平均数181；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的计算方法，可求得男生成绩的中位数，再由平均数的计算公式，可得女生成绩的平均数；
（2）先利用分层随机抽样的方法，求得从“甲部门”抽取2人选，在“乙部门”抽取3，再结合古典概型的概率的计算公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，男生共有14人，将男生成绩按从小到大的顺序排列，中间两个成绩175和176，根据中位数的计算方法，可得男生成绩的中位数是，
由平均数的计算公式，可得女生成绩的平均数.
（2）用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选共20人中抽取5人，
所以每个人被抽中的概率是.
由题意可知，“甲部门”共有8人，“乙部门”共有12人，
所以选取的“甲部门”的人选有（人），
“乙部门”的人选有（人），
记选中的“甲部门”的人选为，，选中的“乙部门”的人选为，，，
从这5人中选2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10个基本事件，
其中事件“至少有一人是“甲部门”人选”包含，，，，，，，共有7个基本事件，
所概率为.
【点睛】本题主要考查了中位数、平均数的计算，以及抽样方法和古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，利用中位数、平均数和古典概型的概率计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
22. 实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境.2019年下半年以来，全国各地区陆续出合了“垃圾分类”的相关管理条例.某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
（1）求 ， ， 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
（3）从年龄段在“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.
【答案】（1），，.
（2）估计这 人年龄的平均值为.
（3）选取的 名记录员中至少有 人年龄在中的概率.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能直接求出，，；
（2）根据频率分布直方图，能直接求这人年龄的平均值；
（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，
年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，， ；
年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，.
在这 人中选取 人作为记录员，利用列举法列出所有的基本事件，
然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：由题意得：
，
，
，
所以，，.
【小问2详解】
根据频率分直方图，估计这 人年龄的平均值为：
.
所以估计这 人年龄的平均值为 .
【小问3详解】
从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，
从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，， .
从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，.
在这 人中选取 人作为记录员，所有的基本事件有，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，共36种.
选取的2名记录员中至少有1人年龄在中包含的基本事件有，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，共26种.
因此，选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率，
所以选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.
营销费用x/万元
2
3
4
5
销售额y/万元
15
20
30
35
模拟次数（x）
1
2
3
4
5
6
7
8
考试成绩（y）
90
105
110
110
100
110
110
105
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
产品编号
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
次数
1
2
3
4
5
考试成绩
498
499
497
501
505
组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
45
0.75
第二组
25

第三组
20
0.5
第四组

0.2
第五组
3
0.1