安徽省桐城中学2023-2024学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

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（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.直线3x+y-1＝0的倾斜角为( )
A.π3B.-π3C.2π3D.-2π3
2.如右图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设AB→=a→,AD→=b→,AA1→=c→,，则选项中与向量MC1→相等的是( )
A.-12a→-12b→-c→B.12a→+12b→+c→C.12a→-12b→-c→D.12a→+12b→-c→
3.下列函数既是奇函数，又在[-1,1]上单调递增的是( )
A.f(x)=|x|B.f(x)=lne-xe+xC.f(x)=12(ex-e-x)D.f(x)=ln(x2+1-x)
4.定义a→⊗b→=|a→|2-a→⋅b→，若向量a→=(1,-2,2)，向量b→为单位向量，则a→⊗b→的取值范围是( )
A.[6,12]B.[0,6]C.[-1,5]D.[0,12]
5.已知直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为( )
A.k≤32B.k≥-12C.-12≤k≤32D.k≤-12或k≥32
6.一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则BD1与AC所成角的余弦值为( )
A.32B.12C.16D.66
7.如图，已知A(-4，0)，B(4，0)，C(0，4)，E(-2，0)，F(2，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为( )
A.(-∞,-2)B.(4,+∞)C.(2,+∞)D.(1,+∞)
8.如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'，连接A'B，且A'D⊥DC，平面与A'BE平面A'CD的交线为l，则下列结论中错误的是( )
A.平面A'DE⊥平面A'BE
B.CD∥l
C.BC与平面A'DE所成角的余弦值为12
D.二面角E-A'B﹣D的余弦值为77
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.已知a→,b→,c→是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )
A.2a→,a→-b→,a→+2b→B.2b→,b→-a→,b→+2a→C.a→,2b→,b→-c→D.c→,a→+c→,a→-c→
10.下列说法错误的是( )
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
C.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0过(x1,y1)
D.方程y=k(x-2)与方程k=yx-2表示同一条直线
11.下列说法错误的是( )
A.a→=(1,-1)是直线x+y-3=0的一个单位方向向量
B.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是9510
C.点A(2,1)到直线l:x-y+2=0的距离为32
D.经过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条
12.已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0，则( )
A.xy的取值范围[1,9]B.x+y的取值范围是[2,3]
C.x+4y>3D.x+2y的最小值是42-3
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时______min.
14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若bsin(B+C)=2csinB，csB=14，b=2，则△ABC的面积为_____________.
15.已知点P为正四面体ABCD的外接球上的任意一点，正四面体ABCD的棱长为2，则PA→⋅PB→的取值范围为___________.
16.已知等腰Rt△ABC内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点(不含端点，如图所示).现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角C-AB-M为π4.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为______.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)已知a→=(1,2,-y)，b→=(x,1,2)，且(a→+2b→)//(2a→-b→)，求x，y的值；
(2)已知A(2,0,0)，B(0,-1,1)，若OA→+λOB→与OB→(O为坐标原点)的夹角为60°，求λ的值.
18.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.
(1)当l斜率为2时，求l的一般式方程；
(2)求△AOB面积的最小值时直线l的方程.
19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是正方形，PA=2AD，点E为PC上的点，PE=2EC.
(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(2)若AD=1，求点C到平面BDE的距离.
20.（12分）如图，将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(12,14)是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形木板锯成△AMN，设直线MN的斜率为k.
(1)用k表示出直线MN的方程，并求出M、N的坐标；
(2)求锯成的△AMN的面积的最小值.
21（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1B上是否存在点N(N不与端点A1、B重合)，使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出A1N与BN的比值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）如图，正方形ABCD和ABEF所在面互相垂直，且边长都是1.M，N，G分别为线段AC，BF，AB上的动点，CM=BN，AF//平面MNG，记BG=a(00,且x+y+xy-3=0,所以x+y=3-xy≥2xy，
当且仅当x=y=1时取等号，注意到x>0,y>0，则解得0