初中华师大版第23章 图形的相似23.4 中位线随堂练习题

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23.4　中位线知识点 1　三角形的中位线1．如图23－4－1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．已知BC＝10，则DE的长为(　　)A．3    B．4     C．5    D．6图23－4－12．如图23－4－2，在▱ABCD中，AD＝8，E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为(　　)A.  2    B．3    C．4   D．5图23－4－23．如图23－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为(　　)A．6   B．5   C．4   D．3图23－4－34．如图23－4－4，边长为4的等边三角形ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为(　　)A．2    B．3    C．4    D．6    图23－4－45．若一个三角形的三条中位线的长分别是3 cm，4 cm，5 cm，则这个三角形的面积是(　　)A．6 cm2      B．12 cm2  C．24 cm2     D．40 cm26．［2019·黔南州］如图23－4－5，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE＝________°.图23－4－57．［2019·南京］如图23－4－6，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为________．图23－4－68．如图23－4－7，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四边形ADEF的周长为________ cm.图23－4－79．如图23－4－8，已知△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA边的中点．求证：△DEF∽△CAB，且相似比为1∶2.　图23－4－8知识点 2　三角形的重心10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，则AG＝________DG.如果AG＝6，那么线段DG＝________．11．如图23－4－9，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连结DE，线段BE，CD相交于点O.若OD＝2，则OC＝________．图23－4－912．在△ABC中，如果AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是________．13．如图23－4－10，在矩形ABCD中，P，R分别是BC和DC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是(　　)A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关图23－4－1014．［2019·陕西］如图23－4－11，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(　　)A．7  B．8  C．9  D．10图23－4－1115．如图23－4－12，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，M是△ABC的重心，则AM的长为________. 图23－4－1216．［如图23－4－13，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连结△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连结△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，依次进行下去，则△A5B5C5的周长为________．图23－4－1317．［2019·天津］如图23－4－14，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连结PG，则PG的长为________．图23－4－1418．如图23－4－15，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.(1)求证：AE＝AF；(2)求证：BE＝(AB＋AC)．图23－4－1519．问题探究如图23－4－16所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，把四边形EFGH称为中点四边形．连结AC，BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．(1)如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．①当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？②当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？(2)探索△AEH，△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明．图23－4－161．C　[解析] 根据三角形的中位线定理，可得DE＝BC＝5.2．C　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8.∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF＝BC＝×8＝4.故选C.3．D　4.B　5.C6．40　[解析] ∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC.∵AD＝BC，∴EP＝FP，∴∠PFE＝∠PEF.∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°.7. 　8. 149．证明：∵D，F分别是AB，CA的中点，∴DF＝BC.同理可得，DE＝CA，EF＝AB，∴＝＝＝，∴△DEF∽△CAB，且相似比为1∶2.10．2　3　11.412．1 cm　[解析] △ABC是等腰三角形，底边上的高为＝3(cm)，故重心G到BC的距离是3×＝1(cm)．13．C　[解析] 连结AR.∵矩形ABCD固定不变，点R在CD上的位置不变，∴AD和DR的长不变．由勾股定理得：AR＝，∴AR的长不变．∵E，F分别为AP，RP的中点，∴EF＝AR，即线段EF的长始终不变．故选C.14． B　[解析] 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6, ∴AC＝＝＝10.∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE＝BC＝3，∴∠EFC＝∠FCM.∵CF平分∠ACM，∴∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠FCE，∴EF＝EC＝AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.故选B.15．10.16． 1　17.　18．证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.(2)如图，过点C作CG∥EM，交BA的延长线于点G.∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE.∵∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC.∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG，∴BE＝BG＝(AB＋AG)＝(AB＋AC)．19．解：(1)①AC⊥BD.②AC＝BD且AC⊥BD.(2)结论：S△AEH＋S△CFG＝S四边形ABCD. 证明：∵四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，由题意可知，EH是△ABD的中位线，∴EH BD，∴△AEH∽△ABD，可得＝＝，∴S△AEH＝S△ABD.同理可得S△CFG＝S△CBD.∴S△AEH＋S△CFG＝(S△ABD＋S△CBD)＝S四边形ABCD.