2024年高考数学第一轮复习21_专题七74数列求和、数列的综合（专题试卷+讲解PPT）

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考点一　数列求和
考向一　分组、并项求和
1.(2023届湖北黄冈调研,8)已知数列{an}满足an·(-1)n+an+2=2n-1,S20=650,则a23= (　    )A.231　    B.234　    C.279　    D.276答案    B    
2.(多选)(2022广东北江实验学校模拟,9)已知数列{an}的通项公式为an= 则 (　    )A.a6=19　    B.a7>a6C.S5=22　    D.S6>S8答案    BC    
3.(2023届江苏百校联考,17)从①(3n-1)·an+1=(3n+2)an,②a2=5,2an+1=an+an+2这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.已知数列{an}满足a1=2,　　　    .(1)求{an}的通项公式;(2)设bn= ,求数列{an+bn}的前n项和Tn.注:若选两个条件分别作答,则按第一个解答计分.
解析    (1)选①,由(3n-1)an+1=(3n+2)an及a1=2,可知an≠0,所以 = ,当n≥2时,有an= × ×…× × × ×a1= × ×…× × × ×2=3n-1.当n=1时,a1=2适合上式,故an=3n-1(n∈N*).选②,由2an+1=an+an+2,得an+2-an+1=an+1-an,所以{an}为等差数列,由a1=2,a2=5,得该数列的公差d=a2-a1=5-2=3,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.(2)由(1)知bn= ,∴an+bn=3n-1+ ,则Tn=[2+5+8+…+(3n-1)]+ 
= + = +  .
4.(2022长沙雅礼中学月考,17)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an+ ,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析    (1)由题意得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2(n≥2),即an+1-an=2(n≥2),又a2-a1=3-1=2,所以an+1-an=2(n∈N*).所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1(n∈N*).(2)bn=an+ =2n-1+22n-1=2n-1+ ·4n,所以Tn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ ×(4+42+43+…+4n)=n2+ .
5.(2022重庆市育才中学入学考,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且 - = ,S6=63.(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)n }的前2n项和.
解析    (1)设数列{an}的公比为q,由已知,有 - = ,解得q=2或q=-1.又由S6=a1· =63,知q≠-1,所以a1· =63,得a1=1,所以an=2n-1.(2)由题意,得bn= (log2an+log2an+1)= (log22n-1+log22n)=n- ,即{bn}是首项为 ,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n }的前n项和为Tn,则T2n=(- + )+(- + )+…+(- + )=b1+b2+…+b2n= =2n2.
考向二　倒序相加求和
1.(2022辽宁阜新月考,7)已知函数f(x)=x+3sin + ,数列{an}满足an= ,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 021)= (　    )A.2 021　    B.2 022　    C.4 042　    D.4 040答案    A    
2.(2022江苏无锡检测,6)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学才能,10岁时,他在进行1+2+3+…+100的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称为高斯算法.已知数列an= ,则a1+a2+…+a98= (　    )A.96　    B.97　    C.98　    D.99答案    C    
3.(2022山东东营一中月考,8)设f(x)= ,根据课本中推导等差数列前n项和的方法可以求得f(1°)+f(2°)+…+f(59°)的值是 (　    )A. 　    B.0　    C.59　    D. 答案    A    
4.(2022湖北重点高中联考,15)设函数f(x)=log3 ,定义Sn=f +f +…+f ,其中n∈N*,n≥2,则Sn=　　　    .答案    0
考向三　公式法求和
1.(2021山东菏泽期末,7)已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-1,若an∈(0,2 021),则称项an为“和谐项”,则数列{an}的所有“和谐项”的和为 (        )A.1 022　    B.1 023　    C.2 046　    D.2 047答案    D    
2.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,5)如图,连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),则这个常数是 (　    )A. 　    B.5　    C.10　    D.15答案    C    
3.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.
解析    (1)由题意得a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,所以b1=2,b2=5,bn=2+(n-1)×3=3n-1.(2)当n为奇数时,an=an+1-1.设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=[(a2-1)+(a4-1)+…+(a20-1)]+(a2+a4+…+a20)=2(a2+a4+…+a20)-10,由(1)可知a2+a4+…+a20=b1+b2+…+b10=10×2+ ×3=155,
故S20=2×155-10=300,即{an}的前20项和为300.
4.(2023届长沙雅礼中学月考,18)设正项数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn= +an.(1)求{an}的通项公式;(2)记bn= cos ,Tn是数列{bn}的前n项和,求T3n.
解析    (1)当n=1时,2S1= +a1,所以 =a1,又a1>0,故a1=1;当n≥2时,2Sn-1= +an-1,而2Sn= +an,两式相减得2an= - +an-an-1,整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,因为an+an-1>0,所以an-an-1=1,故{an}是以1为公差的等差数列,从而an=a1+(n-1)×1=n.(2)设ck=b3k-2+b3k-1+b3k=(3k-2)2cos +(3k-1)2cos +(3k)2cos 2kπ=- (3k-2)2- (3k-1)2+9k2=9k- ,其中k∈N*,所以T3n=c1+c2+…+cn= = .
考点二　数列的综合
考向一　数列与函数综合
1.(多选)(2022江苏泰州模考,9)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,对于正整数k,φ(k)是不大于k的正整数中与k互质的数的个数,函数φ(k)以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数.例如:φ(2)=1,φ(3)=2,φ(6)=2,φ(8)=4.已知欧拉函数是积性函数,即如果m,n互质,那么φ(mn)=φ(m)φ(n),例如:φ(6)=φ(2)φ(3),则 (　    )A.φ(5)=φ(8)B.数列{φ(2n)}是等比数列C.数列{φ(6n)}不是递增数列D.数列 的前n项和小于 答案    ABD    
2.(2023届山东潍坊五县联考,15)视力表是根据视角原理设计的,所谓视角就是由外界物体边缘上的两点在眼结点处所形成的夹角,用α表示,其单位为分.视力表以一分视角(1')为单位进行设计.我国视力的记录采用“五分记录法”,视力表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成,从上到下分别对应视力4.0,4.1,…,5.2,5.3,从上面的第一行开始往下,每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的 倍,且视力L与视角α的关系式为L=5-lg α.若某同学的视力是4.0,则其视角α=　　　    分;若视力4.0的视标边长为1,则视力5.0的视标边长为　　　    .答案 10     或0.1
考向二　数列与不等式综合
1.(2021浙江,10,4分)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则 (　    )A.