2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一组数据从小到大排列为，，，，，这组数据的中位数是，那么这组数据的众数为(    )A.  B.  C.  D. 2.若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数为(    )A.  B.  C.  D. 3.若使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是(    )A.  B.  C.  D. 4.下列数中，，，，中，无理数的个数是(    )A.  B.  C.  D. 5.某小组名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是(    )动时间小时人数 A. 中位数是，平均数是 B. 众数是，平均数是
C. 中位数是，平均数是 D. 众数是，平均数是6.如图，在中，，，点在上，，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.已知，且，则：：等于(    )A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：8.如图，在中，，，，是边上的中线，则的面积是(    )
 A.  B.  C.  D. 9.已知一次函数与的图象如图所示，则关于与的二元一次方程组的解的个数为(    )

 A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个10.如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，能表示这个一次函数图象的方程是(    )

 A.  B.
C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.已知一次函数，当时，的取值范围是______ ．12.当 ______ 时，正比例函数的图象经过第二、第四象限．13.一组数据，，，的中位数和平均数相等，则的值是______ ．14.如图，中，垂直平分，与交于，与交于，，，则是______ 三角形．
 15.利用计算器判断下列各式是否成立，成立的在式子后的括号内打“”，不成立的在式子后的括号内打“”．
；______ ；
；______ ；
；______ ；
．______ ．
按上述规律，第五个等式是______ ．
第个等式是______ ．16.甲、乙两运动员在长为的直道为直道两端点上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达点后，立即转身跑向点，到达点后，又立即转身跑向点，若甲跑步的速度为，乙跑步的速度为，则起跑后内，两人相遇的次数为______．17.国庆期间，重庆市民都收到了一条“大气”的短信，告知为市外旅客提供出游空间，实力宠粉的重庆又上热搜．某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后，旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查每名游客都填了调查表，且只选了一个景点，统计后发现“南山一颗树”、“洪崖洞”、“两江游”、“磁器口”榜上有名，其中选“南山一棵树”的人数比选“磁器口”的人数少人；选“洪崖洞”的人数是选“磁器口”人数的整数倍；选“南山一棵树”与“磁器口”的人数之和比选“洪崖润”与“两江游”的人数之和少人；选“磁器口”与“洪崖洞”的人数之和是选“南山一棵树”与“两江游”人数之和的倍．则该旅行团共有______人．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）18.如果实数，满足的形式，那么和就是“智慧数”，用表示．
如：由于，所以是“智慧数”．
下列是“智慧数”的是______ 填序号：
和，和，和．
如果是“智慧数，”那么“”的值为______ ；
如果是“智慧数”．
与之间的关系式为 ______ ；
当时，的取值范围是______ ；
在的条件下，随的增大而______ 填“增大”，“减小”或“不变”四、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.本小题分
某商场购进商品后加价作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙商品分别以七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款元，这两种商品售价之和为元，问这两种商品进价分别为多少元．20.本小题分
游泳是一项全身性运动，可以舒展肌体，增强人体的心肺功能在学校举办的一场游泳比赛中，抽得名学生米自由泳所用时间单位：秒如下：

这名学生米自由泳所用时间的平均数、中位数和众数分别是多少？
如果有一名学生的成绩是秒，你觉得他的成绩如何？请说明理由．21.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上．
作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
作出关于原点对称的，并写出点的坐标．
22.本小题分
平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．
直接写出，，关于轴对称的点，，的坐标： ______ ， ______ ， ______ ．
若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以，请直接写出对应点，，的坐标，并在坐标系中画出．
23.本小题分
如图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，，，，．
观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______．
可以发现变换过程中，，的纵坐标均为______．
按照上述规律将进行次变换得到，则可知的坐标为______，的坐标为______．
线段的长度为______．

 24.本小题分
已知，如图，为延长线上一点，点是线段上一点．
如图，，作平分交于，平分交于，且比大，求的度数．
如图，连接，若的平分线与的平分线相交于点，交于点．
设，，，试用，，表示；
求证：．

 25.本小题分
已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．
求此二次函数解析式；
连接、、，求证：是直角三角形；
在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据题意得，，得，
则这组数据的众数为．
故选：．
先根据中位数的定义可求得，再根据众数的定义就可以求解．
本题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，难度适中．2.【答案】 【解析】解：一组数据，，，，的众数是，
，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
最中间的数是，则这组数据的中位数为；
故选：．
根据众数的定义先求出的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．
本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
表示的运算符号是“”时，运算结果最小，
故选：．
分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式的计算法则．4.【答案】 【解析】解：，，是有理数，无理数有：，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．5.【答案】 【解析】解：这组数据中出现的次数最多，众数为，
共有个人，
第个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：，
平均数为：．
故选：．
根据众数、平均数和中位数的概念求解．
本题考查了众数、中位数及加权平均数的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理．同时涉及三角形外角的性质．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，
，
．
故选D．7.【答案】 【解析】解：，
，得，，得，
：：：：：：，
故选：．
由，，得出与的关系式，，得出与的关系式，从而算出的比值即可．
本题考查了三元一次方程组的解法，用含有的代数式表示与是解此题的关键．8.【答案】 【解析】解：由勾股定理得，，
是边上的中线，
，
的面积，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
由图象可知，一次函数与是两条互相平行的直线，没有交点，即可得出答案．
【解答】
解：一次函数与是两条互相平行的直线，
关于与的二元一次方程组无解．
故选A．10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数与方程组的关系及用待定系数法求一次函数的解析式．两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．如果设这个一次函数的解析式为，那么根据这条直线经过点和点，用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．
【解答】解：设这个一次函数的解析式为．
这条直线经过点和点，

解得．
故这个一次函数的解析式为，
即：．
故选D．11.【答案】 【解析】解：当时，，
当时，，
一次函数中，，
随的增大而增大，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
分别求出和时的函数值，根据函数的增减性得到的取值范围．
此题考查一次函数的增减性，求一次函数的函数值，正确理解一次函数的增减性，理解与的变化关系是解此题的关键．12.【答案】 【解析】解：正比例函数的图象经过第二、第四象限，
，
．
故答案为：．
先根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了正比例函数的性质，正比例函数，时，图象在一三象限，呈上升趋势，当时，图象在二四象限，呈下降趋势．13.【答案】或或 【解析】解：当，且这组数据的中位数和平均数相等，
，
解得：；
当，则，
解得：；
当，则，
解得：；
当，则，
解得：舍去，
故答案为：或或．
据平均数与中位数的定义分四种情况，，，时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．14.【答案】直角 【解析】解：垂直平分，
，又，
，，
又，
，
；
即是直角三角形；
故答案为：直角．
根据线段垂直平分线的性质，可得，则，所以，，即，即可得出；
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形的判定，知道线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．15.【答案】         【解析】解：，正确；
，正确；
，正确；
正确．
第五个等式是：
第个等式是：．
故答案为：，，，；；  ．
利用根式的运算法则作恒等变形，然后总结规律．
本题考查了根式的运算与化简，解题的关键是正确运用根式的法则．16.【答案】 【解析】解：设两人起跑后内，两人相遇的次数为次，依题意得；
     每次相遇间隔时间，、两地相距为，、分别表
    示甲、乙两人的速度，则有：

，
       解得：
       又是正整数，且只能取整，

故答案为．
在内，求两人相遇的次数，关键一是求出两人每一次相遇间隔时间，二是找出隐含等量关系：每一次相遇时间次数总时间构建一元一次方程．
本题考查了一元一次方程解决行程中的相遇问题，突破口就是相遇时间等于每个人走的时间；结合实际问题中的取值只能取整数，此题与方程的解既有区别又有联系．17.【答案】 【解析】解：设选磁器口的人数为人，选洪崖洞的人数为人，选两江游的人数为人，则选南山的人数为人，根据题意得，
，
化简得，
得，，
，
、均为正整数，
，，
把，代入得，
选磁器口的人数为人，选洪崖洞的人数为人，选两江游的人数为，选南山的人，
该旅行团总人数为：人，
故答案为：．
设选磁器口的人数为人，选洪崖洞的人数为人，选两江游的人数为人，则选南山的人数为人，根据“选“南山一棵树”与“磁器口”的人数之和比选“洪崖润”与“两江游”的人数之和少人；选“磁器口”与“洪崖洞”的人数之和是选“南山一棵树”与“两江游”人数之和的倍．”列出方程组，再求方程组的正整数解便可得答案．
本题主要考查了方程组的应用，关键是正确理解题意，根据等量关系列出方程组，求整数解是突破口．18.【答案】      增大 【解析】解：，
，
和是“智慧数”；
，
，
和不是“智慧数”；
，
，
和是“智慧数”．
故是“智慧数”的是．
故答案为：；
依题意有，
解得．
故答案为：；
依题意有，
则与之间的关系式为．
故答案为：；
，
，
，
或，
解得．
故的取值范围是．
故答案为：；
，
当时，随的增大而增大．
故答案为：增大．
根据“智慧数”的定义即可求解；
根据“智慧数”的定义得到关于“”的方程，解方程即可求解；
根据“智慧数”的定义可得与之间的关系式；
先用表示出，再根据，可求的取值范围；
根据函数的增减性即可求解．
考查了分式的混合运算，函数关系式，新定义，关键是理解“智慧数”的定义．19.【答案】解：设甲商品进价为元，乙商品进价为元，依题意有
，
解得．
答：甲商品进价为元，乙商品进价为元． 【解析】设甲商品进价为元，乙商品进价为元，根据某商场购进商品后，均加价作为销售价，搞优惠促销活动，决定甲、乙商品分别以七折和九折销售．已知某顾客购买甲、乙两种商品，共付款元；这两种商品原销价之和为元，可列方程组求解．
本题考查二元一次方程组的应用和理解题意的能力，根据销售价格和打折后的价格可列方程组求解．20.【答案】解：名学生米自由泳所用时间单位：秒重新排列为：，，，，，，，，，，
众数为秒，
中位数为秒，
平均数为秒；

该名学生的成绩处于平均水平，理由如下：
根据中得到的样本数据的平均数可以估计，在这次比赛中，该名学生的成绩处于平均水平． 【解析】根据平均数、中位数和众数的定义求解可得；
将与中位数比较可得．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力和平均数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．21.【答案】解：如图，．

如图，． 【解析】从三角形的各点向轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可．
连接、、并延长相同单位得到对应点，顺次连接即可．
本题主要考查了中心对称图形及轴对称图形，作图的关键是找对应点．22.【答案】     【解析】解：，，，
，，关于轴对称的点，，的坐标分别为，，，
故答案为：，，；
如图所示，即为所求，点，，的坐标分别为，，．
根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得答案；
首先确定、、三点纵坐标都乘以后的坐标，再确定点，，的位置，然后连接即可．
此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是要确定一些特殊的对称点，然后再连接即可．23.【答案】          【解析】解：，，
的坐标为，
，，，
的坐标为，
故答案为：；；
变换过程中，，的纵坐标均为，
故答案为：；
按照上述规律将进行次变换得到，则可知的坐标为，
的坐标为
故答案为：；；
的横坐标为，的横坐标为，
轴，
又的纵坐标，
由勾股定理得，线段的长度为：，
故答案为：．
根据、、和、、的坐标找出规律，求出的坐标、的坐标；
根据、、的纵坐标找出规律，根据规律解答；
根据将进行次变换得到的坐标变化总结规律，得到答案；
根据勾股定理计算．
本题考查的是坐标与图形、图形的变换、图形的变化规律，正确找出变换前后的三角形的变化规律、掌握勾股定理是解题的关键．24.【答案】解：设，则，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
；
平分，平分，
，
，
是的外角，
，
在中，，
 
．
在中，，
；
 分别是与的外角，
，，
，
，
，
． 【解析】设，则，根据平行线的性质，结合角平分线的定义可求解，进而可求解；
根据角平分线的定义，及三角形外角的性质可求得，再根据三角形的内角和定理代入计算可求解；
根据三角形外角的性质可得，，进而可证明结论．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内外角，角平分线的定义，根据角平分线的定义及平行线的性质找准数量关系是解题的关键．25.【答案】解：二次函数经过点、，
根据题意，得，
解得，
抛物线的解析式为．
证明：由得，点坐标为，
令，，解得或，
，，
，
，
，
，，
，
是直角三角形；
解：存在．
对称轴为直线．
若以为底边，则，

设点坐标为，根据勾股定理可得，，
因此，即．
又在抛物线上，
，即，
解得，舍，
，
，
即点坐标为
若以为一腰，
点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称，
此时点坐标为．
符合条件的点坐标为或． 【解析】将、代入二次函数求得、的值即可确定二次函数的解析式；
分别求得线段、、的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
分别以为底和以为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．