数学7.2 复数的四则运算学案及答案

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7.2.2　复数的乘、除运算知识点一　　　复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可．知识点二　　　复数的乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.知识点三　　　复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.说明：(1)上述公式说明i的幂具有周期性，且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集．(3)4k(k∈Z)是i的周期．(4)与i有关的几个结论：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i，则复数z1z2的虚部为5.(　　)(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)(3)两个共轭复数的积为实数．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√2．做一做(1)复数＝________.(2)复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．(3)复数2－的共轭复数是________．答案　(1)－i　(2)四　(3)2－i题型一  复数的乘、除运算例1　(1)复数－＝(　　)A．0  B．2  C．－2i  D．2i(2)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．[解析]　(1)解法一：－＝＝＝＝2i.解法二：－＝－＝i＋i＝2i.(2)(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴(z1－z2)i的实部为－20.[答案]　(1)D　(2)－20(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解　(1)原式＝＝＝＝＋i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.题型二  在复数范围内解一元二次方程例2　在复数范围内解下列方程．(1)2x2＋6＝0；(2)x2＋x＋4＝0.[解]　(1)由2x2＋6＝0，得x2＝－3.因为(i)2＝(－i)2＝－3，所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±i.(2)配方，得2＝－，因为2＝2＝－，所以x＋＝±i，所以原方程的根为x＝－±i.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)在复数范围内定有两个根：(1)Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1,2＝－±.(2)Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1,2＝－.(3)Δ<0，方程有一对共轭虚根x1,2＝－±i.在复数范围内解方程2x2＋4x＋15＝0.解　配方，得(x＋1)2＝－，因为2＝2＝－，所以x＋1＝±i，所以原方程的根为x＝－1±i.题型三  复数in的周期性运算例3　计算：(1)＋2020；(2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019.[解]　(1)＋2020＝＋1010＝i(1＋i)＋1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝i－2.(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋(i8＋i9＋i10＋i11)＋…＋(i2016＋i2017＋i2018＋i2019)＝1＋i＋i2＋i3＝0.解法二：1＋i＋i2＋…＋i2019＝＝＝＝0.　in(n∈N*)的性质根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中i0＝1，i－n＝(n∈N*)．另外，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.(1)当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于(　　)A．1  B．－1  C．i  D．－i(2)计算6＋的值为________．答案　(1)D　(2)－1＋i解析　(1)∵z2＝2＝＝－i，∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.(2)原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.1．复数i(2－i)＝(　　)A．1＋2i  B．1－2i  C．－1＋2i  D．－1－2i答案　A解析　i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选A.2．复数等于(　　)A．1＋i  B．1－i  C．－1＋i  D．－1－i答案　A解析　＝＝＝1＋i.故选A.3．(1＋i)2－＝________.答案　－＋i解析　(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.4．方程7x2＋1＝0的根为________．答案　x＝±i解析　7x2＋1＝0，整理得x2＝－，因为2＝2＝－，所以7x2＋1＝0的根为x＝±i.5．把复数z的共轭复数记作，已知i＝4＋3i，求.解　由i＝4＋3i得＝＝3－4i，所以z＝3＋4i.所以＝＝＝.