2024年高考数学第一轮复习专题2.7 函数模型及其应用（原卷版）

2.7  函数模型及其应用

思维导图

知识点总结

知识点一　一次函数模型

形如       的函数为一次函数模型，其中   .

知识点二　二次函数模型

1．一般式：      ．

2．顶点式：           ．

3．两点式：               ．

知识点三　幂函数模型

1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．

2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

知识点四　几类已知函数模型

知识点五　应用函数模型解决问题的基本过程

1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

3．求模——求解数学模型，得出数学模型；

4．还原——将数学结论还原为实际问题．

典型例题分析

考向一 一次函数模型的应用实例

例1　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．

反思感悟　一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．

考向二 二次函数模型的应用实例

例2　牧场中羊群的最大蓄养量为m

只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

反思感悟　利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．

考向三 幂函数与分段函数模型

例3　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．

(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．

①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？

②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？

③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？

反思感悟　(1)处理幂函数模型的步骤

①阅读理解、认真审题．

②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．

③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．

④转化成具体问题，给出解答．

(2)应用分段函数时的三个注意点

①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．

②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

考向四 指数型函数模型

例4　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．

反思感悟　在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

考向五 对数型函数模型例5　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．

(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

反思感悟　有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．

考向六 建立拟合函数模型解决实际问题

例3　某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：

(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则

(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．

(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．

(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．

基础题型训练

一、单选题

1．函数的零点是（    ）

A．2 B． C． D．

2．函数的一个零点为，则它的另一个零点是（    ）

A． B．1 C． D．2

3．函数在下列区间内一定有零点的是

A． B． C． D．

4．方程的实数解的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．函数的零点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（　　）．

A． B． C． D．

8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（    ）

A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定

9．设是函数的零点，若，则的值满足（    ）

A． B． C． D．以上都有可能

10．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（    ）

A．4000只 B．5000只  C．6000只  D．7000只

11．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）

A．200本 B．400本 C．600本 D．800本

12．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)

A．2元 B．2.5元

C．1元 D．1.5元

二、解答题

13．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？

14．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.

(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；

(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.

15．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，产量不同其费用也不同，且已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.

(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？

16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）

(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；

(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.

(1)当时，求函数的表达式；

(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.

18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

19．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．

(1)试求y关于x的函数解析式；

(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．

20．2016年4月16日00时25分日本九州发生7.3级地震．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？

21．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

22．已知函数在区间上有个零点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）若，用二分法求方程在区间上的根.

23．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

24．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）

（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；

（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

25．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为.

（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；

（2）求羊群年增长量的最大值.

26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

27．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．

提升题型训练

一、单选题

1．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ）

A．2 000套 B．3 000套

C．4 000套 D．5 000套

2．函数的单调递减区间是

A． B．

C． D．

3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为

A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好

4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是

A． B． C． D．

5．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式为

A． B．

C． D．

6．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费

A．元 B．元 C．元 D．元

7．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（    ）

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．

A．1 B．2

C．3 D．4

8．若函数经过点，则函数的零点是（    ）

A．0，2 B．0， C．0， D．2，

9．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ）

A． B． C． D．

10．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ）

A．y=2x B．y=log2x

C．y=(x2-1) D．y=2.61x

11．函数在下列区间内一定有零点的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

二、填空题

13．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．

14．若成立，则的取值范围是___________．

15．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费______元；通话，需付电话费______元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是_______．

16．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．

17．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______．

18．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.

19．函数零点的个数为___________.

20．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是_________．