高中数学必修第一册第四章4.5.2《用二分法求方程的近似解》导学案-2019人教A版

这是一份高中数学必修第一册第四章4.5.2《用二分法求方程的近似解》导学案-2019人教A版，共14页。

4.5.2　用二分法求方程的近似解
课标要求
素养要求
1.探索用二分法求方程近似解的思路.
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.
通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

教材知识探究


在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.

可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？
如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.

每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.
问题1　上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
问题2　工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？
问题3　如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？
提示　1.二分法.　2.确立故障的范围.　3.6次.

1.二分法　　　
二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
教材拓展补遗
[微判断]
1.二分法所求出的方程的解都是近似解.(×)
提示　如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.
2.函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.(×)
提示　对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点.
3.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(×)
提示　函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
[微训练]
1.二分法求函数的零点的近似值适合于(　　)
A.零点两侧函数值异号的函数
B.零点两侧函数值同号的函数
C.所有函数都适合
D.所有函数都不适合
解析　由函数零点存在定理可知选A.
答案　A
2.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A.0.9 B.0.7
C.0.5 D.0.4
解析　由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B.
答案　B
[微思考]
1.用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
提示　前提条件：
(1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断.
(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.
2.二分法的解题原理是什么？
提示　函数零点存在定理.

题型一　二分法概念的理解

【例1】　(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)

(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
解析　(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).
答案　(1)B　(2)(1，2)
规律方法　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【训练1】　已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A.4，4 　　　　B.3，4
C.5，4 　　　　D.4，3
解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案　D
题型二　用二分法求函数的零点
二分法求零点时，当区间中点恰好是所求零点或区间长度小于精确度ε时要终止等分区间
【例2】　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375)
1.343 75
f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75)
1.328 125
f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125)
1.320 312 5
f(1.320 312 5)<0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
规律方法　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【训练2】　证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).
解　设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，
∴x0∈(1，1.5).
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1，1.25).
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0＝1.25.
题型三　用二分法求方程的近似解
【例3】　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1).
解　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0，1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5，1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625，0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
规律方法　用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算.
【训练3】　用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1，2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1，1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.

一、素养落地
1.通过探索用二分法求方程近似解的思路，培养数学抽象素养，通过借助计算工具用二分法求方程近似解提升数学运算及逻辑推理素养.
2.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
3.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
二、素养训练
1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于(　　)
A.1 B.－1

C.0.25 D.0.75
解析　x1＝＝0.25.
答案　C
2.用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(　　)
A.(1，2) B.(1.75，2)
C.(1.5，2) D.(1，1.5)
解析　由题知f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－<0，∴零点所在的区间为(1.5，2)，故选C.
答案　C
3.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　)
①y＝3x2－2x＋5；②y＝；③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8.
A.①③ B.②
C.④ D.②④
解析　由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值.
答案　C
4.某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分________次后，所得近似值的精确度达到0.1.
解析　由<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5.
答案　5
5.判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由.
解　方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，下面说明理由.设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0，
又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立，
故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0，
即方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解.

基础达标
一、选择题
1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
－0.9
－3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，＋∞)
解析　因为f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内一定存在零点.
答案　B
2.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　)

解析　根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点.
答案　C
3.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A.[1，4] B.[－2，1]
C. D.
解析　∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
答案　D
4.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.04)为(　　)
A.1.5 B.1.25
C.1.375 D.1.437 5
解析　由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5.
答案　D
5.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)
A. B.
C.ε D.2ε
解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.
答案　B
二、填空题
6.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________.
解析　设函数f(x)＝x3－2x－5，则∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，
∴下一个有根区间是(2，3).
答案　(2，3)
7.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.
解析　开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10，则n≥4，所以至少需要操作4次.
答案　4
8.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.
解析　∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
答案　a2＝4b
三、解答题
9.用二分法求方程x2－5＝0的负实数解.(精度为0.01)
解　设f(x)＝x2－5，由于f(－3)＝4>0，f(－2)＝－1<0，因此取区间[－3，－2]为计算的初始区间，用二分法逐次计算，将方程的负实数解所在的区间依次求出，列表如下：

左端点
右端点
1
－3
－2
2
－2.5
－2
3
－2.25
－2
4
－2.25
－2.125
5
－2.25
－2.187 5
6
－2.25
－2.218 75
7
－2.25
－2.234 375
8
－2.242 187 5
－2.234 375
由上表计算可知，区间[－2.242 187 5，－2.234 375]的长度小于0.01，
所以可取－2.24作为原方程的负实数解.
10.已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01).
解　由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，
因此f(x)＝0的正根最多有一个.
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(0，1)
0.5
0.732
(0，0.5)
0.25
－0.084
(0.25，0.5)
0.375
0.328
(0.25，0.375)
0.312 5
0.124
(0.25，0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25，0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625，0.281 25)
0.273 437 5
－0.005 43
(0.273 437 5，0.281 25)


因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
能力提升
11.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).
解　设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小函数的零点所在的区间.经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，2]内存在零点.
取[1，2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，1.5]内有零点.如此下去，得到函数f(x)＝2x＋3x－7的零点所在的区间.
用二分法逐步计算，如下表：

左端点
右端点
第1次
1
2
第2次
1
1.5
第3次
1.25
1.5
第4次
1.375
1.5
第5次
1.375
1.437 5
因为|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，
所以可取1.4为函数y＝2x＋3x－7的近似零点.
12.求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1).
解　设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2，3)作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间

f(2)＝－1，f(3)＝2
(2，3)
x1＝＝2.5
f(2.5)＝0.25>0
(2，2.5)
x2＝＝2.25
f(2.25)＝－0.437 5<0
(2.25，2.5)
x3＝＝2.375
f(2.375)<0
(2.375，2.5)
x4＝＝2.437 5
f(2.437 5)>0
(2.375，2.437 5)
由于|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
因此可以选取区间(2.375，2.437 5)内的任意一个数，例如取2.4作为函数的一个零点，从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4.