人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理同步训练题

A级　基础巩固

1.(2023·北京卷)(2x-)5的展开式中x的系数为 (　　)

A.-80　　　　　　　

B.-40

C.40　　　 

D.80

解析:(2x-)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-)r=(-1)r25-rx5-2r.令5-2r=1,得r=2.所以(2x-)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2=80.

答案:D

2.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是                  (　　)

A.-840 

B.840

C.210　 

D.-210

解析:在通项Tk+1=(-y)kx10-k中,

令k=4,得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为

×(-)4=840.

答案:B

3. (x+)12的展开式中的常数项是 (　　)

A.第7项

B.第8项

C.第9项　 

D.第10项

解析:二项展开式的通项为Tk+1=·x12-k·()k=·2k·.令12-k=0,得k=8.所以常数项为第9项.

答案:C

4.(2x+)7的展开式中倒数第3项为.

解析:由n=7,可知展开式中共有8项,

所以倒数第3项即为第6项,

所以T6=(2x)2·()5=×22×=.

5.(2023·深圳模拟)(x+2)(x-1)3展开式中x2的系数为-3.

解析:(x-1)3的展开式的通项为

Tr+1=x3-r·(-1)r,(x+2)(x-1)3=x(x-1)3+2(x-1)3,

取r=2和r=1,计算得到x2的系数为×(-1)2+2××(-1)1=-3.

6.已知在(x2-)n的展开式中,第9项为常数项,求:

(1)n的值;

(2)展开式中x5的系数;

(3)含x的整数次幂的项的个数.

解:(x2-)n的展开式的通项为

Tk+1=(x2)n-k·(-)k=(-1)k()n-k·.

(1)因为第9项为常数项,

即当k=8时,2n-k=0,

解得n=10.

(2)由(1)知(x2-)10的展开式的通项为

Tk+1=(-1)k()10-k.令20-k=5,得k=6.

所以x5的系数为(-1)6×()4×=.

(3)要使20-k为整数,即为整数,只需k为偶数,

由于k=0,1,2,3,…,9,10,

故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.

B级　能力提升

7.在(+)n的展开式中,若常数项为60,则n的值为6.

解析:Tk+1=()n-k()k=2k.

令=0,得n=3k.

根据题意,得2k=60,经验证知k=2,故n=6.

8.(2022·上海卷)在x3+12的展开式中,含项的系数为66.

解析:展开式的通项公式为Tk+1=(x3)12-k·()k=x36-4k,

由36-4k=-4,解得k=10,

即T11=x-4=,即含项的系数为66.

9.(2022·新高考全国Ⅰ卷)( 1-) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28(用数字作答).

解析:(x+y)8的通项公式为Tr+1=x8-ryr,

当r=6时,T7=x2y6,

当r=5时,T6=x3y5,所以(1-) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-=28-56=-28.

C级　挑战创新

10.多空题在(x2-)9的展开式中,第4项的二项式系数是84,第4项的系数是-.

解析:Tk+1=×(x2)9-k×(-)k=(-)k××x18-3k,

当k=3时,T4=(-)3××x9=-x9,

所以第4项的二项式系数为=84,第4项的系数为-.

11.利用二项式定理证明:49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.

证明:49n+16n-1=(48+1)n+16n-1

=·48n+·48n-1+…+·48++16n-1

=·48n+·48n-1+…+·48+16n,

48和16n都可以被16整除,

所以·48n+·48n-1+…+·48+16n可以被16整除.

所以49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.