专题11. 指对均值不等式及应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题11.指对均值不等式专题突破

一．基本原理

1．对数均值不等式

两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．

证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……①

不等式①（其中）

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.

（2）再证：……②

不等式②（）

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递增，

故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．

注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.

2．对数不等式链

；

.

3．对数均值不等式的推广与命题

问题：已知恒成立，求之间的关系？

由文献[1]可知，若恒成立，则，此为上述不等式成立的必要条件.

关于充分性，文献[1]证明了时，恒成立.

而当时，则无法得到显式的之间的关系，不过可知随的增大而增大！

因为，倘若，令代入即可得：，

若我们令，所以可以构造一个函数：

，我们可以做到，进一步，若

为的两个零点，则

，即等价

于：.

4．对数均值不等式应用中的比值代换

已知函数，若，不妨设，则令，可得：.（*），利用（*）的结论，我们还可以证明：

①.

②.若，则...

②.解析：

是的两个零点，且，

，，可得，，，令，

，构造函数，求导可得，令，则，则在上单调递增，而

，，则在上单调递增，

，可得，则，即，

5.指数均值不等式及应用

若，则.

证明：由于，令，代入即可证得.

二．典例分析

例1. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，求证：．

解析：（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得．

不妨设，由，得

两式相减，得，要证明，即证，设，则．

则，则，

所以在上为增函数，从而，即成立，

因此，成立．即证.

例2. （2022全国甲卷）已知函数.

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若有两个零点，证明：.

解析：（2）此时，有两个解，且.

此时，，两式相除，可得：.

于是，欲证只需证明：（对数均值不等式）.易证！

习题2. 已知函数．

（1）求的图象在处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．

解：（1），定义域为，，，.

因此，函数的图象在处的切线方程为，即；

（2）令，得，由题意可得，

两式相加得，两式相减得，

设，，要证，即证，即，令，即证.（易证，略！）

例3．已知关于的方程有两个不相等的正实根，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.

解析：由且，可得.设，则

，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；函数的图象如下：

又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；

要使图象与直线有两个交点，则，故a的取值范围是.

（2）因为，由（1）得，则，

设，则，即，由有最小值，即有最小值.

  ，

记，

由于，若，则，可得单调递增，此时，即单调递增，此时在没有最小值，不符合题意.若，时，，则在单调递减，时，，则在单调递增.又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.此时时，，即，此时上单调递减；时，，即， 在上单调递增.所以时，有最小值，

而，即，

设

设.

设，故递增，.

此时递增，有，令且，则，即在上递增，故，此时，故在递增，而知，的唯一解是. 故的唯一解是，即.综上所述，.

例4. 已知函数，其中.

（1）当时，求不等式在上的解；

（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；

（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.

解析：的解集为；

（3）证明：由已知，

由，是函数的两个不同极值点（不妨设）.即，是函数的两个不同实根.即，

∴，，两式相减得：，

于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证

令即证不等式当时恒成立.

设，∴

而，即，∴，∴在上是减函数，又∴恒成立. 则.

例 5．已知函数．

（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）如果函数恰有两个不同的极值点，，求证：．

解析：（2） 根据条件，，则

-2．因为是极值点，所以，两式相减得．所证不等式等价于，设两边同除以得．令，．所证不等式只需证明：

．设，则．易证，所以，因此在上单调递减，．所以原不等式成立，即．

例6.已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明：

解析：（1）略.

（2），由

同除以得，

要证，只需证；

只需证；

根据对数平均不等式，故原命题得证.

例7．已知函数．

（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

证明：（1），

（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，.

故直线过定点，.

（2），是的两个零点，且，

，可得，

，

令，，构造函数，求导可得

，令，则，则在上单调递增，

而（2），，则在上单调递增，

（2），可得，则，即，则．