【期中复习提升】沪教版 2023-2024学年高一上学期 必修1 第一章 集合与逻辑（3大易错与3大拓展）测试卷

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第一章    集合与逻辑单元复习提升（易错与拓展）  易错点1：忽视集合元素的互异性致错【例1】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．【错因】由题设条件知集合B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．【正解】应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．【答案】{0,7,3,1}集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 针对训练1.1 若，则a的值为      .【答案】【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，若，解得，此时，，符合题意，即，而，即，所以a的值为.故答案为：针对训练1.2 设a，，若集合，则       .【答案】2【解析】由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可.【详解】由易知，由两个集合相等定义可知若，得，经验证，符合题意；若，由于，则方程组无解综上可知，，，故.故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题. 易错点2：忽视空集致错【例2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【错解】由B⊆A，得解得2≤m≤3.【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.【答案】{m|m≤3}.【指点迷津】空集不含任何元素的集合，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.（1）对于任意集合,有，所以如果,就要考虑集合或可能是;如果，就要考虑集合可能是.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.针对训练2.1 已知，若，求实数a的值.【答案】1或4【分析】根据一元二次方程，解得集合，根据根的判别式以及根与系数关系，可得答案.【详解】由已知可得，因为，则或或或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，实数a的值为1或4.针对训练2.2 已知集合，若，则 m 的取值范围为          ．【答案】【分析】分和讨论结合条件即得．【详解】∵，∴当时，，所以，当时，，解得，综上所述，的取值范围是．故答案为：.针对训练2.3 已知，，且，则a的取值范围为         ．【答案】【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合，当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.故答案为：.针对训练2.4 设，若，求所有满足条件的的集合.【答案】【分析】先求出，再就分类求出，根据即可求的取值集合.【详解】因为，，若，则，此时满足；若，则，因为，故或，解得或，所以的取值集合为.针对训练2.5 已知：，且，则实数的取值范围是       .【答案】【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答.【详解】因集合，，由得：，当，即时，，则，当时，则，解得，综上，即实数的取值范围是.故答案为：.针对训练2.6 已知集合，且，则实数m的取值范围是        .【答案】.【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.【详解】由集合，若时，可得，此时满足；若时，要是得到，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：. 易错点3：判断充要条件时出错【指点迷津】只要抓住一个重点：推出关系.在若则类型中，，p是q的充分条件指，而此时说“p是q的充分条件，或说q的充分条件是p”，也就是p是充分的，q是必要的.记忆：推出关系中，前面的条件是充分的，后面的被推出的是必要的.【例3】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.【详解】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.针对训练3 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．【详解】若不等式的一个充分条件为，则，所以，解得.则实数的取值范围是.故选：D.  拓展1 全称量词与存在量词全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词；全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题例如，命题“所有的正方形都是矩形”就是全称量词命题； 存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词；存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.例如，命题“有一个素数不是奇数”就是存在量词命题.在有些资料中，全称量词用符号“”表示，特称量词用符号“”表示.如果将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示，那么：全称命题“对任意属于，有成立”可表示为： ；特称命题“存在一个属于，使成立”可表示为：； 【例1】若命题，是真命题，则实数的取值范围是　　       ．【答案】【考点】全称量词；命题的真假；二次不等式恒成立；【详解】因为命题，是真命题，所以对恒成立，即二次函数的图像恒在轴上方或与轴仅有一个交点，则有，解得，故实数的取值范围是闭区间．故答案为：．针对训练1.1 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是　　A．，   B．所有菱形的4条边都相等 C．若为偶数，则   D．是无理数【答案】【考点】全称量词与存在量词；命题的真假【详解】对于，，故错误；对于：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故正确；对于：若为偶数，则或，故错误；对于是无理数不是全称命题，故错误．故选：．针对训练1.2 已知对，都有，则的取值范围为　　A．   B．  C． D．【答案】【考点】全称量词；不等式恒成立；【详解】对，都有，，故选：．针对训练1.3 若“，”是真命题，则实数的取值范围为　　A．，，   B．    C．，   D．，【答案】【考点】全称量词；命题的真假；二次不等式恒成立【详解】当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，则有，解得；综上可得，．故选：．拓展2 命题的否定常见结论形式的否定：原结论 否定形式原结论 否定形式 或非且非至少有一个 没有且非或非至多有一个 至少有二个 至少有个 至多有-1个 至多有个 至少有+1个【例2.1】写出下列命题的否定：（1）且；（2）的解是或；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个四边形没有外接圆；【答案】（1）且；或    （2）的解既不是，也不是；    （3）存在一个梯形的对角线不相等；    （4）所有的四边形都有外接圆；【例2.2】若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是　　A．，    B．，    C．    D．，【答案】【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用【详解】命题“，使得成立”为假命题，则它的否定命题：“，”为真命题；所以，解得，所以实数的取值范围是，．故选：． 针对训练2.1（1）陈述句“或”的否定形式为________________.（2） “对于任意正奇数，所有不大于的正奇数的和都是”的否定为_____________________.【答案】（1）且； （2）存在正奇数，使得所有不大于的正奇数的和不是.针对训练2.2 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为　　A．       B．   C．      D．【答案】【考点】存在量词和特称命题【详解】“，”为假命题等价于“方程无实根”，即△，．故选：． 拓展3 容斥定理容斥问题涉及到包含与排除原理，也叫容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分. 如果用表示集合A中的元素的个数，那么【例3.1】 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（    ）A．98人 B．106人 C．104人 D．110【答案】B【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：，故选：B.【例3.2】 某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（    ）A．120 B．144 C．177 D．192【答案】A【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为即由容斥原理：解得：故选：A针对训练2.1 为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.【详解】画出维恩图如下：  设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，则：，；故答案为：32人.针对训练2.2 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，所以单独参加数学的有人，单独参加物理的有人，单独参加化学的有，故参赛人数共有人，没有参加任何竞赛的学生共有人.故选：D.