湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（月考）

湖南师大附中博才实验中学第二次自能练习数学试题

命题人：何政  刘莎莎  龙娟 审题人：常发业

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1．下列关于的函数中，二次函数是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

3．抛物线的对称轴是（    ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

4．下列旋转中，旋转中心为点的是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（    ）

A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，16 D．6，8，12

6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ）

A．对角线互相平分  B．对角线互相垂直

C．对角线相等  D．对角线互相垂直平分且相等

7．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是9环，其中甲成绩的方差为1.21，乙成绩的方差为3.98，由此可知（    ）

A．甲比乙的成绩稳定  B．乙比甲的成绩稳定

C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定

8．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

9．某校每年举行“节省一元钱，温暖一颗心”爱心捐款活动，号召全体师生奉献爱心，以帮助有需要的学生．某班级在七年级参与这项活动时，捐款总数为1000元，而到了九年级班级捐款总数为1440元．若这个班级的捐款总数年平均增长率为，则下列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图为二次函数的图象，则下列说法：

①；②；③；④；⑤；

其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

11．函数中自变量的取值范围是__________．

12．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则__________．

13．若点和点在函数的图象上，则__________．（填“﹥”“﹤”或‘“=”）

14．如图，在中，，分别是，的中点，若，则边的长是__________．

15．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________．

16．如图，中，，，，为线段上一动点，为延长线上的动点，始终保持．连接和，将绕点逆时针旋转到，连接，为中点，当从点运动到点时，点所经过的路径长为__________．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．）

17．（6分）解方程．

18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点、、的坐标；

（2）求的面积．

19．（6分）先化简，再求值：，其中．

20．（8分）2022年3月25日，教育部印发《务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，并用得到的数据绘制成如下不完整的统计图表：

（1）统计表中的__________，__________，__________；

（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是__________，中位数是__________；

（3）请将条形图补充完整；

（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．

21．（8分）已知一次函数的图象经过点．

（1）求的值；

（2）求一次函数与二次函数的图象的交点坐标．

22．（9分）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）求证：四边形是菱形．

23．（9分）日前正在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商家进购了一批吉祥物钥匙扣，进价为每个32元．若该钥匙扣每个的售价是48元时，每天可售出200个；若每个售价提高2元，则每天少卖4个．

（1）设该吉祥物钥匙扣每个售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；

（2）求每个售价定为多少元时，每天销售玩偶所获利润最大，最大利润是多少元？

24．（10分）已知二次函数（，是常数）

（1）若，两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．

（2）若二次函数的表达式可以写成的形式（是常数），求的最小值．

（3）若二次函数的表达式还可以写成，它的图象与轴交于，两点，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于另一点．是否存在实数，使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

25．（10分）

如图1，四边形中，，，我们就把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．

图1                图2                  图3                 备用图

（1）根据笔形的定义，下列图形中是笔形的有__________（填写序号）；

①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．

（2）如图2，若四边形的内角满足，连接，交于点，且平分，

①求证：四边形是菱形；

②若四边形的面积为，求四边形的周长；

（3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为．在轴上任取一点，以为对角线作筝形，满足，且轴．在轴上取几个不同位置的点，得到相应的点，发现这些点在一条曲线上．若点，，是上述曲线上的三个不同的点，它们的横坐标分别为，，，其中，求的最大值．

湖南师大附中博才实验中学第一次自能测试  数学

参考答案及评分标准

一、选择题

CDCAB AAACC

二、填空题

11． 12．4 13．< 14．

15． 16．

三、解答题

17．解：，，

或，则，．

18．解：（1）如图，即为所求，

，，；

（2）．

19．解：原式，

当时，原式．

20．（1）100；50；0.08；

（2）1.5；1.5

（3）

（4）（小时）．

答：所有被调查同学的平均劳动时间是1.27小时．

21．解：（1）把代入，得．

（2）联立得：，整理得：，，

解得：，，方程组的解为：或．

交点坐标为：和．

22．（1）证明：，，

是的中点，，

在和中，

，

，．

（2）证明：，，

，，

，四边形是平行四边形，

，，，

四边形是菱形．

23．解：（1）根据题意，得，

与之间的函数关系式：；

（2）根据题意，得：，

，抛物线开口向下，有最大值，

当时，．

24．解：（1）二次函数过点、，．

（2）把化成一般式得，．

，．

．

把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，

当时，的最小值是．

（3）①当时，

（ⅰ）点，，则一次函数解析式可以表示为，

联立得，点

由图可知，当三角形是以为腰的等腰三角形时，则只能

过点作轴，则有

，，，，

，．

（ⅱ）若点，，则一次函数解析式可以表示为，

联立得，点，发现点恰好是抛物线顶点，

总是有，

过点作轴，则有，

，，，，

，．

②当时，同理可得或

综上所述，或．

25．（1）②④

解析：连接，交于点，易证明，且垂直平分，正确答案是②④；

（2）①四边形的内角和为且满足，

，，，，

平分，，，

，．四边形是筝形．

②四边形是筝形，且，，

是等腰直角三角形，是等边三角形．

由①可知，，

设，则，，

在中由勾股定理可得

，

．

，，，．

由勾股定理可得，，，．

（3）①：如图四边形是筝形，，，

点，轴，点的坐标为．

，，

．

②：设，，．

则，，，

，

．

过点作轴的垂线交直线与点．设直线的解析式为，

则，解得，

直线，

令，得，．

．

则，

，当时，有最大值，最大值为．