江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期第一次调研数学试卷

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期第一次调研数学试卷，共26页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，已知3a＝2b等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县九年级第一学期第一次调研数学试卷
一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分.）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+1）＝x2 B．（x﹣1）（x+2）＝
C．x2+bx+c＝0 D．x2﹣2xy+y2＝0
2．已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　）
A．＝ B．＝，∠A＝∠F
C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D
5．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°
7．已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝6，x2＝﹣1 D．x1＝6；x2＝1
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9．关于x的一元二次方程x2＝3x的解为 　 　．
10．已知＝，则的值为　 　．
11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　．
12．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若线段AB的长10cm，则线段AC的长为 　．
13．已知m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，则代数式m2﹣4m﹣2n+2023的值为 　．
14．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　 　米．

15．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
16．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝　 　．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　 　．

18．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 　 　．

三.解答题：（本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．
20．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（　 　，　 　），C′（　 　，　 　）；
（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（　 　，　 　）．

21．已知如图，直线AD∥BE∥CF，＝，DE＝6，求EF的长．

22．小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．

23．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
24．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 　 　件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
25．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．

26．如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

27．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，求的值．
（2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由．
28．在四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论．



参考答案
一.选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题纸相应位置上）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+1）＝x2 B．（x﹣1）（x+2）＝
C．x2+bx+c＝0 D．x2﹣2xy+y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x（x+1）＝x2整理可得x＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C．x2+bx+c＝0，是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
D．x2﹣2xy+y2＝0是二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可．
解：A、∵3a＝2b，
∴两边都除以3b得：＝，故本选项不符合题意；
B、∵3a＝2b，
∴两边都除以2a得：＝，故本选项符合题意；
C、3a＝2b，
∴两边都除以2a得：＝，故本选项不符合题意；
D、∵3a＝2b，
∴两边都除以6得：＝，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
3．已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+2x1x2的值．
解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，
所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，．
4．能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　）
A．＝ B．＝，∠A＝∠F
C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D
【分析】根据相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似，进行判断即可．
解：A、当时，不能判定△ABC∽△DEF，故A不符合题意；
B、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故B不符合题意；
C、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故C不符合题意；
D、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似．
5．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】由b是a和c的比例中项，得出b2＝ac，再进一步由一元二次方程ax2+2bx+c＝0根的判别式探讨得出答案即可．
解：∵b是a和c的比例中项，
∴b2＝ac，
∵一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0根的判别式：（﹣2b）2﹣4ac＝4b2﹣4ac＝0，
∴一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查根的判别式的运用，以及比例中项的意义，注意整体代入思想的渗透．
6．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
解：∵AB＝、AC＝，BC＝5，DE＝、EF＝2，DF＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等．
7．已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝6，x2＝﹣1 D．x1＝6；x2＝1
【分析】设t＝x﹣4，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0变为t2+bt+c＝0，根据方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，得x﹣4＝2或﹣3，即可求出方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根．
解：设t＝x﹣4，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0变为t2+bt+c＝0，
∵方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，
∴t＝2或﹣3，
∴x﹣4＝2或﹣3，
∴x＝6或1，
∴方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是x1＝6，x2＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．
解：延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴＝＝＝，
∴EG＝CD＝×4＝．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9．关于x的一元二次方程x2＝3x的解为 　x1＝0，x2＝3　．
【分析】利用因式分解法解方程．
解：x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．已知＝，则的值为　　．
【分析】根据合比性质，可得答案．
解：＝，则＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键．
11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为 　　．
【分析】根据两根之和等于﹣，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．
解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，设方程的另一根为t，
∴1+t＝，
∴t＝，
即另一个根为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若线段AB的长10cm，则线段AC的长为 　（5﹣5）cm　．
【分析】根据黄金分割的定义得AC＝AB，代入AB的长计算即可．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝10cm，
∴AC＝AB＝×10cm＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）cm．
【点评】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
13．已知m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，则代数式m2﹣4m﹣2n+2023的值为 　4040　．
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m2﹣2m＝2021，m+n＝2，将原式化简求值即可．
解：∵m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，
∴m2﹣2m＝2021，m+n＝2，
∴m2﹣4m﹣2n+2023
＝m2﹣2m﹣2（m+n）+2023
＝2021﹣2×2+2023
＝4040，
故答案为：4040．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
14．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　1　米．

【分析】设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，
根据题意得：（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不符合题意，舍去），
∴小道的宽为1米．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≤1且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程有实数根，可得b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，
解得k≤1，
又∵kx2﹣6x+9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．
16．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝　　．

【分析】△OA1N∽△OA2M，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解．
解：分别过点A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

则△OA1N∽△OA2M，
∵＝，即两个三角形的相似比为3：2，
则△OA2M和△OA1N的面积比为：9：4，
而＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，利用三角形相似比的平方等于面积比是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　．

【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAO＝＝tan∠BCE＝，即可得到，解得即可．
解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO＝，在Rt△CBE中，tan∠BCE＝，
∴＝，即，
解得n＝，
故答案为．

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，证明∠BCE＝∠CAO，得出＝是解题的关键．
18．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 　6≤AP＜8　．

【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜8；

如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤8；

如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此时，6≤AP＜8；

综上所述，AP长的取值范围是6≤AP＜8．
故答案为：6≤AP＜8．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
三.解答题：（本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2，
（x﹣3）2﹣（2x﹣1）2＝0，
[（x﹣3）+（2x﹣1）][（x﹣3）﹣（2x﹣1）]＝0，
∴3x﹣4＝0或﹣x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（　﹣6　，　2　），C′（　﹣4　，　﹣2　）；
（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（　﹣2x　，　﹣2y　）．

【分析】（1）延长BO，CO，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据点的位置写出点的坐标即可；
（2）M′的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数．
解：（1）如图
B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）

（2）M′（﹣2x，﹣2y）．

【点评】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
21．已知如图，直线AD∥BE∥CF，＝，DE＝6，求EF的长．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，求出DF，再根据EF＝DF﹣DE即可得出结果．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵＝，DE＝6，
∴DF＝9，
∴EF＝DF﹣DE＝9﹣6＝3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
22．小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．

【分析】过D作DE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BC＝DE＝6，CD＝BE＝3，设AE＝x，则＝，求出x即可解决问题．
解：过D作DE⊥AB于E，
∵DC⊥BC，AB⊥BC，
∴∠EBC＝∠DCB＝∠DEB＝90°，
∴四边形DCBE为矩形，
∴BC＝DE＝6，CD＝BE＝3，
设AE＝x，
∴＝，
解得：x＝7.5，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝7.5+3＝10.5米．

【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长＝定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0，列出不等式，解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系，把问题转化为方程即可解决问题；
解：（1）由题意△≥0，
∴4（k﹣2）2﹣4k2≥0，
∴k≤1．

（2）∵x1+x2＝2（k﹣2），x1x2＝k2，
∴2（k﹣2）＝1﹣k2，
解得k＝﹣1+或﹣1﹣，
∵k≤1，
∴k＝﹣1﹣．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 　24　件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
【分析】（1）根据平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
∴定价＝80﹣10＝70（元）
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．

【分析】设EF＝x，则GF＝2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
解：设EF＝x，则GF＝2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝．
∵AH＝6，BC＝12，
∴＝．
解得x＝3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难度适中．
26．如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝10，由于∠PCQ＝∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC＝∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到＝；当∠PQC＝∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到＝，然后分别解方程求出t的值即可；
（2）作PH⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH＝，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC＝2S△CPQ，利用三角形面积公式得到2••t•＝•6•8，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等．
解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝＝10（cm），
∵∠PCQ＝∠ACB，
∴当∠PQC＝∠B时，△CQP∽△CBA，则＝，即＝，解得t＝；
当∠PQC＝∠BAC时，△CQP∽△CAB，则＝，即＝，解得t＝；
∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．理由如下：
作PH⊥BC于H，如图，
∵PH∥AB，
∴△CPH∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴PH＝（cm），
当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，
S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，
∴2••t•＝•6•8，
整理得t2﹣5t+20＝0，此时方程无实数解，
∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．熟练应用相似比计算线段的长．
27．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，求的值．
（2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5＝0的解，求出a+b和ab的值，即可求出+的值；
（2）运用根与系数的关系求出x1+x2＝1，x1•x2＝k+1，再解y1y2﹣﹣＝2，即可求出k的值．
解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，
∴a+b＝﹣15，ab＝5，
∴+＝＝＝43，
故答案为：43；
（2）存在，当k＝﹣2时，y1y2﹣﹣＝2．
由x2﹣y+k＝0变形得：y＝x2+k，
由x﹣y＝1变形得：y＝x﹣1，把y＝x﹣1代入y＝x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1＝0，
由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1＝0的两个不相等的实数根，故有：

即：，
解得：k＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
28．在四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论．

【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD＝DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；
（3）当∠B＝∠EGF时，＝成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠AED＝∠CFD，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴＝；
（3）解：当∠B＝∠EGF时，＝成立，
证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，

则∠CMF＝∠CFM，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴＝，即＝．

【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．