精品解析：广东省深圳市罗湖外语初中学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

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深圳市罗湖外语初中学校九年级上学期期末测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行求解．
【详解】解：该几何体的俯视图是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
2. 在直角中，，，，求为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值．
【详解】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
3. 菱形不具备的性质是（ ）
A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 对角线平分对角 D. 是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；
B．菱形的对角线不相等，故本选项符合题意；
C．菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；
D．菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
4. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ）

A. －2 B. －4 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的系数的几何意义得出 ，即可求出．
详解】解：，
，
，
在该图像上，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出时解题的关键．
5. 我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得每轮传播的人数，再根据题意，列方程即可．
【详解】解：第一轮传了个人，此时有个人被传染，
第二轮传染了，此时有个人被传染，
则，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　）

A. （﹣3，） B. （﹣2，3） C. （﹣，3） D. （﹣3，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
7. 如图，关于抛物线，下列说法错误的是 （ ）

A. 顶点坐标为(1，)
B. 对称轴是直线x=l
C. 开口方向向上
D. 当x>1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．
【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2-2，
A、因为顶点坐标是（1，-2），故说法正确；
B、因为对称轴是直线x=1，故说法正确；
C、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确；
D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误．
故选D．
8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：，
，故①正确；
②由抛物线与轴的图象可知：，
，故②正确；
③由图象可知：，，
，故③正确；
④，
，
，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型．
9. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接分别交、于点E、F；
第三步，连接、．
若，，，则的长是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，通过，得到，代入求出即可．
【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即
解得，

故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，菱形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，能根据定理判四边形是菱形是解此题的关键．
10. 如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个．

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【详解】解：在正方形中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
在正方形中，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
则四边形的面积是正方形面积的，故③正确；
过点作，交于点，如下图：

∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，故④正确；
由，设，则
，，，
过点作，如下图：

∵，
∴，
∴，
在中，，故⑤错误；
综上，正确的个数为4，
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 已知，则___________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值．
【详解】解：由条件得：，则，
故答案：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．
12. 若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是________．
【答案】m≤1
【解析】
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故答案为：m≤1．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．
13. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2．

【答案】4
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝
＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．
14. 如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 _____米．

【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割比例进行求解即可．
【详解】解：∵C是线段AB靠近B的黄金分割点，
∴米，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
15. 如图，直线y＝x﹣2交双曲线y（x＞0）于点A，交x轴于点B，直线y＝3x交双曲线y（x＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为 _____．

【答案】3
【解析】
【分析】设C（m，3m），A（n，n−2），根据勾股定理得到OC2，OA2，由OA＝OC及A，C在双曲线y（x＞0）上，推出k＝2k＋4，即可得到结论．
【详解】解：设C（m，3m），A（n，n−2），
∴OC2＝m2＋（3m）2，OA2＝n2＋（n−2）2，
∵OA＝OC，
∴m2＋（3m）2＝n2＋（n−2）2，即10m2＝2n2−4n+4，
∵A，C在双曲线y（x＞0）上，
∴m•3m＝k，n（n−2）＝k，即m2＝，n2－2n＝k，
∴k＝2k＋4，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中．
三、解答题
16. 计算题
（1）解方程；
（2）解方程：．
（3）计算：．
【答案】（1），
（2），
（3）3
【解析】
【分析】(1)采用十字相乘法解此方程，即可解得；
(2)采用因式分解法解此方程，即可解得；
(3)首先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的运算法则，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求得结果．
【小问1详解】
解：由原方程得：，
故或，
解得，，
所以，原方程解为，；
【小问2详解】
解：由原方程得：，
得
故或，
解得，，
所以，原方程的解为，；
【小问3详解】
解：



【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的运算法则，求一个数的算术平方根，有理数的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
17. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．

解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 　 　人．
（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
【答案】（1）80 （2）32人，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解；
（2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解；
（3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），
故答案为：80；
【小问2详解】
解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），
补全的条形统计图如下所示：
【小问3详解】
把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，
根据题意，画树状图如下：

共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键．
18. 如图，从楼层底部处测得旗杆的顶端处的仰角是，从楼层顶部处测得旗杆的顶端处的仰角是，已知楼层的楼高为米．求旗杆的高度约为多少米?（参考数据：）

【答案】旗杆的高度约为米．
【解析】
【分析】作于点．可得，在Rt△BCD中解直角三角形即可．
【详解】解：作于点，
由题意可知:，
设，则，
，
即：，
则，
答:旗杆的高度约为米，

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨元．
（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出______个台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【答案】（1）；
（2）台灯的售价应定为元，这时应进台灯个；
（3）售价为元时，每月销售利润最大．
【解析】
【分析】（1）根据题意，列代数式即可；
（2）根据题意，列一元二次方程，求解即可；
（3）设销售利润为元，求得与的函数关系，再根据二次函数的性质，求解即可．
【小问1详解】
解：售价上涨x元后，销售量减少个，此时的销售量为个
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意可得：，
化简可得：，
解得或，
∵，
∴，
，，
即台灯的售价应定为元，这时应进台灯个；
【小问3详解】
解：设销售利润为元，
由题意可得：
∵，开口向下，对称轴为，
∴时，随的增大而增大
又∵，
∴当元时，每月销售利润最大，此时售价为元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程和函数关系．
20. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.

(1)求证:四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
【答案】(1)见解析；(2) OF =.
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．
【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°，AB=FE.
∵AB=6，DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中，∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.
∴.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
∴OF=AC=.
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（3）连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC面积．
【答案】（1）反比例函数解析式为 ，次函数解析式为
（2）x≥4或-1≤x＜0
（3）
【解析】
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，1），
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
又点B（﹣1，n）在反比例函数上，
∴ ，
∴B的坐标为（-1，-4），
把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：由图象及交点坐标可知：
当x≥4或-1≤x＜0时，k1x+b≥﹣；
【小问3详解】
解：过C点作CDy轴，交直线AB于D，
∵B（-1，-4），B、C关于原点对称，
∴C（1，4），
把x=1代入y=x-3，得y=-2，
∴D（1，-2），CD=6，
∴．

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
22. 【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．

（2）如图，连接，

由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．

，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，

由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．

②当点点右边时，如图，

同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．

【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
．