精品解析：广东省深圳市龙岗区德琳学校2022-2023学年九年级上学期阶段性训练数学试卷

2022-2023学年度第一学期阶段性训练九年级数学试卷

考试时长：90分钟

一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ）

A. +x﹣1=0 B. 3x+1=5x+42 C. ax2+bx+c=0 D. m2﹣m=3

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

【详解】A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D、是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．

2. 一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（　　）

A. （x﹣3）2＝15 B. （x﹣3）2＝3 C. （x+3）2＝15 D. （x+3）2＝3

【答案】A

【解析】

【分析】先移项，化为再方程两边都加9，从而可得答案.

【详解】解： x2﹣6x﹣6＝0，

两边都加9得：

故选A

【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.

3. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（　 　）

A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

【答案】B

【解析】

【详解】由频率的定义知，解得a=12.

4. 下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（　　）

A. x＝1 B. x1＝0，x2＝1 C. x＝2 D. x1＝‒1，x2＝2

【答案】D

【解析】

【分析】要求方程ax2﹣bx＝2的解，求出代数式ax2﹣bx的值为2时对应的x的值即可，结合题中表格确定即可．

【详解】解：由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，

∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，

故选：D．

【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．

5. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（    ）

A. 300（1+x）=507 B. 300（1+x）2=507

C. 300（1+x）+300（1+x）2=507 D. 300+300（1+x）+300（1+x）2=507

【答案】B

【解析】

【分析】根据年利润平均增长率，列出变化增长前后的关系方程式进行求解.

【详解】设这两年的年利润平均增长率为x，列方程为：300（1+x）2=507.

故选B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是怎么利用年利润平均增长率列式计算.

6. 如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用矩形的性质结合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案．

【详解】解：∵矩形中，

∴

∵：：，

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

故选C．

【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键．

7. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，

画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，

∴可配成紫色的概率是：

故选D．

8. 下列判定错误的是（    ）

A. 平行四边形的对边相等

B. 对角线相等的四边形是矩形

C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D. 对角线相等的菱形是正方形

【答案】B

【解析】

【分析】根据特殊四边形的性质与判定方法分别逐项排查即可．

【详解】解：A、平行四边形的对边相等，正确，不合题意；

B、对角线相等的四边形不一定就是矩形，还可能是等腰梯形，故此选项错误，符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；

D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不合题意．

故选B．

【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质与判定方法，正确理解相关性质是解答本题的关键．

9. 如图，菱形的对角线相交于点O，且，，过点O作⊥于点H，则的长为（    ）

A. 3 B. 4 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由菱形性质及勾股定理可求得菱形的边长，再由面积关系即可求得OH的长．

【详解】∵四边形ABCD是菱形，

∴，，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，由勾股定理得，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，运用了等积法，它是在直角三角形中，已知三边求斜边的高的常用方法．

10. 如图，以Rt△ABC斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝4，AO＝6，则AC的长等于（　　）

A. 12 B. 16 C. 8+6 D. 4+6

【答案】B

【解析】

【分析】在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，可证得△OGC≌△OAB，从而得到OG=OA=6，再可证△AOG是等腰直角三角形，根据求出AG，也就求得AC．

【详解】解：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG

∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB

∴∠ABO＝∠OCG

∵OB＝OC，CG＝AB

∴△OGC≌△OAB

∴OG＝OA＝6，∠BOA＝∠GOC

∵∠GOC+∠GOH＝90°

∴∠GOH+∠BOA＝90°

即：∠AOG＝90°

∴△AOG是等腰直角三角形，

∴AG＝12

∴AC＝16．

故选：B

【点睛】考查正方形的性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．

【详解】解：由题意，将代入方程得：，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．

12. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为_______.

【答案】5

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.

【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根，

∴，

∴，

故答案为5．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系.

13. 学校团委在“五四青年节”举行“感动校园十大人物”颁奖活动中，九（4）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲乙两人恰有一人参加此活动概率是____________．

【答案】.

【解析】

【详解】画树状图得：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，甲乙两人恰有一人参加此活动的有8种情况，所以甲乙两人恰有一人参加此活动的概率是 .

14. 如图，点是矩形的边上一动点，矩形两边长、长分别为和，那么到矩形两条对角线和的距离之和______．

【答案】####2.4

【解析】

【分析】根据已知可推出，得，得，同理可得，即可得解．

【详解】解：矩形中，，，

，，，

，

，

又，

，

，

；

同理可得：；

．

故答案为：．

【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和三角形相似的判定与性质是解题的关键．

15. 如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可．

【详解】解：如图，过点作于．

，，，

，

点和点分别是和的中点，

，，

，

，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

．

故答案为：．

【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解方程：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1），   

（2），   

（3），

【解析】

【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；

（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．

【小问1详解】

，，，

△，

，

所以，；

【小问2详解】

，

，

或，

所以，；

【小问3详解】

，

或，

所以，．

【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．

17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m+1＝0．

（1）若m＝﹣2，求此方程的解；

（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】（1）根据求根公式，即可求解；

（2）根据判别式＞0，列出不等式，进而即可求解．

【详解】解：（1）当m＝﹣2时，x2﹣x+m+1＝0化为：x2﹣x- 1＝0，

∴,

即：，；

（2）∵方程有两个不相等的实数根，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根的判别式，掌握求根公式以及判别式于根的情况关系是解题的关键．

18. “大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为　　；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

【答案】（1）抽样调查；24；条形统计图见解析；（2）150°；（3）恰好抽中一男一女的概率为．

【解析】

【分析】（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据A在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据A的人数是4，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数,即可补全统计图

（2）利用C得数量除以总数再乘以360度，计算即可得解；

（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．

【详解】（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，

，

所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，

班的作品数为（件），

条形统计图：

（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角；

故答案为抽样调查；6；150°；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，

所以恰好抽中一男一女的概率．

【点睛】此题考查扇形统计图，列表法与树状图法，条形统计图，解题关键在于看懂图中数据

19. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）

（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；

（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．

【答案】（1）6米    （2）不能达到，理由见解析

【解析】

【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积关系即可得到方程，解方程即可；

（2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可．

【小问1详解】

设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米

由题意得：x(42－3x)=144

即

解得：（舍去）

即生态园垂直于墙的边长为6米.

【小问2详解】

不能，理由如下：

设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米

由题意得：y(42－3y)=150

即

由于

所以此一元二次方程在实数范围内无解

即生态园的面积不能达到150平方米.

【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出方程是解题的关键．

20. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．

（1）求证：四边形OCED是矩形．

（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）4．

【解析】

【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形；

（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．

【详解】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，

∴四边形OCED是矩形．

（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，

∴AB＝BC＝CD＝4．

又∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝4，

∴OC＝AC＝2，

∴

∴矩形OCED的面积是2×2＝4．

【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．

21. 物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．

（1）求二、三这两个月的月平均增长率；

（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）当商品降价5元时，商品获利4250元

【解析】

【分析】（1）设二三月份的平均增长率为x，由题意可得，二月份的销售量为256（1+x）件；三月份的销售量为256（1+x）2件，又知三月份的销售量为400件，由此列出方程，解方程求出x的值，即求出了平均增长率；

（2）设降价y元时销售商品获利为4250元，利用每件商品的利润×销售量=4250，列方程，解方程即可解决．

【详解】解：(1)设二三月份平均增长率为x，

则有：256（1+x）2=400 ，

解得：x1=0.25， x2=-2.25（舍）.

答：二三这两个月的月平均增长率为25%；

(2)设降价y元时销售商品获利为4250元，

则有：（40-25-y）（400+5y）=4250，

解得：x1=-70（舍），x2=5.

答： 商品降价5元时，商品获利4250元．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题和销售问题，解决本题的关键根据等量关系准确的列出方程．

22. 在正方形中，是边上一点(点不与点重合)，连接．

【感知】如图①，过点作交于点，求证： ．

【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．

①求证：；

②连接，若，求的长．

【应用】如图③，取的中点，连接．过点作交于点，连接．若，求四边形的面积．

【答案】见解析；①见解析；②；四边形的面积为9．

【解析】

【分析】由正方形的性质可得：，再证明从而可得结论；

①如图，过点作于，证明，即可得出结论，②由直角三角形斜边上的中线的性质求解的长度，从而可得的长度；

由②同理可得：，由的结论同理可得：，从而利用四边形的面积=可得结论．

【详解】证明:四边形是正方形，

，

在和中，

.

①证明:如图，过点作于，

四边形是正方形，

，

四边形是矩形，

，

在和中，

②解:由①知，

如图，连接，

点是的中点，

．

由②同理可得：，

由的结论同理可得：，

四边形的面积=．

【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的判定，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，对角线互相垂直的四边形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．