浙江省杭州市四校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题

2023学年第一学期高二年级10月四校联考

数学学科试题卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.直线的斜率与y轴上的截距分别为（    ）

A. B. C. D.

2.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（    ）

A.-1 B.1 C.2 D.-2

3.平面，互相平行的一个充分条件是（    ）

A.，都垂直于同一平面 B.某一直线与，所成角相等

C.，都平行于同一直线 D.，都垂直于同一直线

4.已知直三棱柱，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

5.设非零向量和的夹角为，定义运算：.已知，，则（    ）

A.2 B.  C.3 D.

6.点在圆上运动，则的取值范围（    ）

A. B. C. D.

7.在中，，，点C在直线上运动，则内切圆的半径的最大值是（    ）

A. B. C. D.

8.在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知实数，，那么（    ）

A. B. C. D.

10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则（    ）

A.圆台的母线长为4  B.圆台的高为4

C.圆台的表面积为  D.球O的表面积为

11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则（    ）

A.事件A和B互斥  B.事件C和D互斥

C.事件A和B相互独立  D.事件C和D相互独立

12.过抛物线上一点P作圆C：的两条切线，切点为E，F，则（    ）

A.使的点P共有2个

B.既有最大值又有最小值

C.使四边形面积最小的点P有且只有一个

D.直线过定点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在空间直角坐标系中，若，，且，则.

14.设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是______.

15.直线l：与圆C：交A，B两点，若D为圆C上一点，且为等边三角形，则r的值为______.

16.若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

18.（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若，求边上高的最大值.

19.（12分）已知为过点的指数函数，为定义域为R的奇函数.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

20.（12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；

（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；

（Ⅲ）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.

21.（12分）设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.

（Ⅰ）求圆C的方程.

（Ⅱ）过作直线l与圆C相交于A，B两点，

（i）用坐标法证明：是定值.

（ii）设，求的最大值.

22.（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角三角形中，.

（Ⅰ）点E满足，试确定的值，使得直线平面，并说明理由.

（Ⅱ）当的长为何值时，直线与平面所成的角的正弦值为.

高二数学参考答案

一、选择题

BCDA    CBDC

二、多选题

9.BC 10.ACD 11.BC 12.AC

三、填空题

13. 14. 15. 16.

17.答案：解：（1）取的中点，连接，，

又为的中点，为的中点

，，又，

，

所以四边形为平行四边形，所以

平面，，又

平面，

又，为的中点，

平面，平面

（2）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间坐标系，

则，，，

平面的法向量，平面的法向量

平面与平面所成锐二面角的余弦值为

18.得到：，

算得，

进而，

（2）由（1）及余弦定理得：，

，当且仅当时等号成立（含当且仅当1分）

设边上的高为，又，.

备注：（2）问：

画外接圆，当为正三角形时，边上高最大，最大值为

19.略

20.（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，

，解得

（2）成绩落在内的频率为，

落在内的频率为，

设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；

（3）由图可知，成绩在的市民人数为，

成绩在的市民人数为，故；

由样本方差计算总体方差公式可得总方差为

21.解：（I）算对圆方程，直接给4分；

若圆方程有误，，给2分，若不对，但有，给1分，半径对给2分.

其中（i）若设点斜式方程，并验证斜率不存在也符合，正确的给4分；

联立方程与韦达定理合计；

（i）若只用圆切割线定理，得到正确结果，给2分

（ii）

利用基本不等式求最大值，正确给2分；

（ii）方法二：设中点为，

利用中线公式：

方法二：记关于t的方程有实数根，

利用（未验证即扣1分）

22.（1）时，平面，

证明如下：连接，与交于点，因为，

所以，面，平面.

（2）直线与平面所成的角的正弦为，取

则，所以直线与平面所成的角记作，则

易证，结合，得面，

所以面面，

作交线于点，则面，

设，则点到面的距离为，

，所以，所以，，

在锐角三角形中，

法二：如图所示，即为所求

法三：如图建系

，面的法向量为，直线与平面所成的角记作，

则，得，，

解得，，所以