数学必修 第一册3.2 基本不等式教学课件ppt

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知识点1　基本不等式1.基本不等式:设a≥0,b≥0,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中, 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.因此基本不等式又称为均值不等式.　 　　　　　不可忽略此条件2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.基本不等式的几何解释:在同一个圆中,半径大于或等于半弦.
名师点睛1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数,当且仅当a=b时,等号成立,即“a=b”是
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a≠0,则 .(　　)(2)对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab.(　　)(3)当n∈N+时, .(　　)2.基本不等式中a,b只能是具体的某个数吗?
解 a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.
3.[人教A版教材习题]已知a,b∈R,求证:
知识点2　利用基本不等式求最值当x,y均为正数时,下面的命题均成立:(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ;(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当 x=y时,x+y取得最小值2 .名师点睛1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
过关自诊1.若x>0,则函数y=x+ (　　)A.有最大值-4　　　B.有最小值4C.有最大值-2D.有最小值2
2.已知a,b∈R+,且满足a2+b2=6,则 的最大值为　　　　　. 
3.[人教A版教材习题]已知-1≤x≤1,求1-x2的最大值.
解 当x=±1时,1-x2=0.当-10,1+x>0,当且仅当1+x=1-x,即x=0时,等号成立.所以1-x2的最大值为1,此时x=0.
探究点一　对基本不等式的理解
【例1】 下列说法正确的是(　　)
规律方法　应用基本不等式时要注意以下三点(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
变式训练1下列结论不成立的是(　　)A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5B.若x≠0,则x2+ ≥2C.若 ≥2,则必有a>0,b>0D.若a∈R,则有a2+9≥6a
探究点二　利用基本不等式求最值
【例2】 已知a>3,求 +a的最小值.
规律方法　在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.如:求形如f(x)= +x+d的最值时,若满足x+b>0,则可考虑将f(x)变形为f(x)= +x+b+(d-b),借助于基本不等式求最值.
变式训练2已知x,y均为正数,且 =1,求x+y的最小值.
探究点三　利用基本不等式证明不等式
【例3】 (1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:
规律方法　利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
证明 因为a,b,c,d都是正数,当且仅当ab=cd,且ac=bd时,等号成立.故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求证:
1.知识清单:(2)“和定积最大,积定和最小”.2.方法归纳:配凑法,常值代换法.3.常见误区:注意等号成立的条件.
2.已知正数x,y满足 ,则xy有(　　)A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144
3.当且仅当x=　　　　时,4x+ (x>0)取得最小值. 
4.[2020江苏高考,12]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.