北师大版 (2019)3 导数的计算同步训练题

第二章§3　导数的计算

A级 必备知识基础练

1.设f(x)是可导函数,且=2,则f'(x0)=(　　)

A.-2 B.-1 

C.0 D.1

2.(多选题)[2023广东佛山荣山中学校考期中]以下函数求导正确的有(　　)

A.(x)'=1 B.(sin 2)'=cos 2

C.'=ln x D.()'=

3.[2023四川绵阳南山中学校考期中]“以直代曲”是重要的数学思想.具体做法是:在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin 0.05的近似值,我们可以先构造函数y=sin x,由于0.05与0比较接近,所以求出在x=0处的切线方程为y=x,再把x=0.05代入切线方程,故有sin 0.05≈0.05,类比上述方式,则≈(　　)

A.1.001 B.1.005 

C.1.015 D.1.025

4.[2023江西铅山第一中学校联考三模]函数f(x)的定义域为D,导函数为f'(x),若对任意x∈D,f'(x)<f(x)成立,则称f(x)为“导减函数”.在下列函数中,是“导减函数”的为(　　)

A.y=x2 B.y=cos x

C.y=logπx D.y=2x

5.(多选题)下列说法不正确的是(　　)

A.若y=cos x,则y'=sin x

B.若y=ex,则y'=-ex

C.若y=,则y'=-

D.若y=,则y'=

6.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为　. 

7.已知f(x)=a2(a为常数),g(x)=ln x,若2x[f'(x)+1]-g'(x)=1,则x=　　　　　. 

8.设直线y=x+b是曲线y1=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为　　　　. 

9.利用导数的定义求函数y=f(x)=x-的导数.

10.用求导数的公式求下列函数的导数.

(1)y=x8;(2)y=4x;(3)y=log3x;

(4)y=sinx+;(5)y=e2.

B级 关键能力提升练

11.[2023福建厦门一中校考阶段练习]已知函数f(x)=cos x,则=(　　)

A.-sin x B. 

C.-sin 2 D.cos 2

12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于(　　)

A.4 B.-4 

C.28 D.-28

13.[2023湖北鄂州高中校联考期中]已知直线l是曲线y=ex的切线,切点横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　)

A. B.1 

C. D.

14.[2023辽宁锦州高二校考期中]曲线y=在点x=4处的切线方程为(　　)

A.x-2y=0 

B.x-4y+4=0

C.2x-y-6=0 

D.x-4y+12=0

15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为(　　)

A.(-1,1) B.(-1,-1)

C.(1,1) D.(1,-1)

16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于的值,以下说法正确的是　　　　　.(填序号) 

①与x0,h都有关;

②仅与x0有关而与h无关;

③仅与h有关而与x0无关;

④与x0,h均无关.

17.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=　　　　　. 

18.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　. 

19.已知P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则当点P的坐标为　　　时,PQ最小,此时最小值为　　　. 

20.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求适合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值.

C级 学科素养创新练

21.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,求a1+a2+…+a99的值.

参考答案

§3　导数的计算

1.D　=2×=2,所以f'(x0)==1.故选D.

2.AD　(x)'=x1-1=1,A正确;

(sin2)'=0,B错误;

'=(x-1)'=-x-2=-,C错误;

()'=()'=,D正确.故选AD.

3.A　设f(x)=ex,可得f'(x)=ex,f(0)=1,f'(0)=1,

由于与0比较接近,所以求出曲线y=ex在x=0处的切线为y=g(x)=x+1,

在切点附近用切线代替曲线进行近似计算,=f≈g=1+=1.001.故选A.

4.D　若函数的定义域为D,若对任意x∈D,

y=x2,y'=2x,当x=1时,y'=2>y=1,则y=x2不符合“导减函数”的定义;

y=cosx,y'=-sinx,当x=π时,y'=0>y=-1,则y=cosx不符合“导减函数”的定义;

y=logπx,y'=,当x=时,y'=>0>y=-1,则y=logπx不符合“导减函数”的定义;

y=2x,y'=2xln2<2x,则y=2x符合“导减函数”的定义.

故选D.

5.ABD　∵(cosx)'=-sinx,∴A不正确;

∵(ex)'=ex,∴B不正确;

∵'=-,∴C正确;

∵()'=,∴D不正确.

故选ABD.

6.xx=2kπ+,k∈Z　因为f(x)=cosx,g(x)=x,

所以关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0为-sinx+1≤0,得sinx≥1,

又因为-1≤sinx≤1,所以sinx=1,

解得x∈xx=2kπ+,k∈Z.

7.1　∵f'(x)=0,g'(x)=,x>0,

∴2x[f'(x)+1]-g'(x)=2x-=1,

解得x=1或x=-(舍去).

8.ln 2-1　因为y1'=(lnx)'=,设切点为(x0,y0),

由题意,得,

所以x0=2,y0=ln2,

代入直线方程y=x+b,得b=ln2-1.

9.解 由导数定义,得Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)--x-,

∴=1+,当Δx趋于0时,得到导数f'(x)=1+.

10.解 (1)y'=(x8)'=8x8-1=8x7.

(2)y'=(4x)'=4xln4.

(3)y'=(log3x)'=.

(4)y'=sinx+'=(cosx)'=-sinx.

(5)y'=(e2)'=0.

11.C　=f'(2),f'(x)=-sinx,

则=-sin2.故选C.

12.C　∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8, ①

又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k, ②

由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.

13.C　当x=-1时,y=e-1=,而y'=ex,k=y'|x=-1=e-1=,

所以切线l:y-(x+1),

即x-ey+2=0,

当y=0时,x=-2,即A(-2,0);

当x=0时,y=,即B0,,

所以S△OAB=×2×,故选C.

14.B　y=,y'=,y'|x=4=,曲线y=在点(4,2)处的切线方程为y-2=(x-4),即x-4y+4=0.

故选B.

15.BC　由题得,y'=3x2,

因为k=3,所以3x2=3,

所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).

16.②

17.sin x　由已知得,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,

f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,

则f2020(x)=f4(x)=sinx.

18.21　∵y'=2x,

∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).

又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0),

∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=的等比数列,

∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.

19.(1,0)　　如图,当直线l与曲线y=lnx相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ的最小值.易知(lnx)'=,令=1,得x=1,故此时点P的坐标为(1,0),所以PQ的最小值为.

20.解 f'(x0)=2x0,g'(x0)=3.

因为f'(x0)+2=g'(x0),

所以2x0+2=3,

即3-2x0-2=0,

解得x0=或x0=.

21.解 由题得y'=(n+1)xn,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n(n∈N+),可求得切线与x轴的交点为,0,则an=lg=lgn-lg(n+1),n∈N+,所以a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.