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新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 函数奇偶性的应用（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 函数奇偶性的应用（含解析），共33页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破，关键点点睛等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的奇偶性
2. 函数奇偶性的几个常用结论
(1)具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件.
(2)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上.
(5)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
(6)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
(7)常用的两个等价关系
①f(x＋a)为偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②f(x＋a)为奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【题型归纳】
题型一：函数奇偶性的定义与判断
1．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：由奇偶性求函数解析式
4．已知为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：函数奇偶性的应用
7．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
9．已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a＝f（lg0．53），b＝f（lg25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．
题型四：由奇偶性求参数
10．已知命题的展开式中的常数项为7，命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知奇函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
12．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【双基达标】
13．设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：
①；
②；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象关于点对称；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
15．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
16．已知是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
17．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
21．已知函数，则（ ）
A．0B．2C．2021D．2022
22．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
23．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．B．4C．8D．或8
25．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
26．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1B．2C．D．
27．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．，且
28．已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
30．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
31．函数对任意，都有的图形关于对称，且 则（ ）
A．-1B．1C．0D．2
32．设函数，若的导函数是偶函数，则可以是（ ）
A．B．C．D．
33．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A．B．
C．D．
34．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
35．若是定义在上的函数，则“是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
36．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
37．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
38．已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
39．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
40．下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
41．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
三、填空题
42．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
43．已知函数是偶函数，且当时，，则当时，该函数的解析式为__________
44．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
45．已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
46．函数是偶函数，则实数__________．
47．已知定义域为的函数是奇函数，则函数的值域为___________．
四、解答题
48．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
49．若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
50．已知函数，（，）.
(1)若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
51．设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
52．已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象
（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象
特点
关于y轴对称
关于原点对称
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义即可判断.
【详解】
，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：为偶函数，且在上单调递减，故B错误；
对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，又，所以在上单调递增，故D正确；
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
结合基本函数的函数的性质和零点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，函数的对称轴为轴，故是偶函数，
令得，所以的零点为．不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意．
对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，
令，此时方程无解，所以函数无零点，不符合题意.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据为偶函数， 求出当时，，再求出导函数，代入即可得解.
【详解】
当时，，则，此时，
所以．
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
根据当时奇函数满足，结合奇函数在R上满足求解即可
【详解】
因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故
故选：C
6．B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质计算可得；
【详解】
解：当时，则，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
所以当时．
故选：B
7．A
【解析】
【分析】
由奇偶性和单调性求解即可
【详解】
为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
利用奇偶性可排除BC；利用时，可排除A.
【详解】
定义域为，又，
为定义域上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；
当时，，，，可排除A.
故选：D.
9．B
【解析】
【分析】
先求出m＝0，进而判断出的图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．由0＜lg23＜lg25，即可得到c＜a＜b．
【详解】
由函数为偶函数，
所以，即，解得m＝0，
即f（x）＝2|x|－1，其图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
又a＝f（lg0．53）＝f（－lg23）＝f（lg23），b＝f（lg25），
c＝f（0），且0＜lg23＜lg25，所以c＜a＜b．
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
先判断的真假，再利用复合命题的真值表判断即可
【详解】
的展开式中的常数项为，
故命题为真命题，进而为假命题；
若函数为奇函数，则，则，即，
故命题为假命题，为真命题．
所以为假命题， 为真命题，为假命题，为假命题，
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
先由奇函数及周期求得，再由平移求得，再利用正弦函数的对称性求解即可.
【详解】
因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，
则，则，令，
解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A正确，B错误；
令，解得，当时，，时，，C错误，D错误.
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
求出两个条件中参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若函数在上单调递减，则，
若函数为偶函数，则，解得，
因为，
因此，函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
13．C
【解析】
令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.
【详解】
令，
①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；
②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；
因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，
又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C.
【点睛】
结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：
（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；
（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.
14．B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
15．D
【解析】
【分析】
由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】
因为对任意的，有，
所以当时，，所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．
16．D
【解析】
【分析】
结合的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.
【详解】
因为是实数集上的偶函数，所以，，
又因为在区间上是增函数，并且，所以，
所以，所以D选项的正确的．
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
17．D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
18．A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 .
19．A
【解析】
【分析】
可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】
根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
20．C
【解析】
【分析】
根据函数奇函数的概念可得，进而结合对数的运算即可求出结果.
【详解】
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.
【详解】
因为，
，
即，所以是偶函数，所以，
又因为
，
所以，
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可
【详解】
对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，
故选：A
23．D
【解析】
【分析】
通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
24．D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】
解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
25．C
【解析】
【分析】
令，可根据已知等式验证出为偶函数，同时根据导数得到的单调性；将所求不等式转化为，根据单调性可得到，解不等式求得结果.
【详解】
令，则，
，，，
为定义在上的偶函数；
当时，，在上单调递减，
又为偶函数，在上单调递增.
由得：
，即，
，解得：，即不等式的解集为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.
26．B
【解析】
【分析】
利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】
设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
27．B
【解析】
【分析】
根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
28．A
【解析】
【分析】
由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.
【详解】
由，知是偶函数，
不等式等价为，
当时，，在区间上单调递增，
解得：.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.
29．A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
30．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
31．B
【解析】
【分析】
根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到，计算得到答案.
【详解】
函数周期为，，
的图形关于对称，故关于对称，.
故.
故选：B.
32．A
【解析】
求出导函数，根据偶函数的性质得到，，,当时，.
【详解】
因为，
所以，
因为为偶函数，所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以，所以，.
当时，.
故选：A
【点睛】
本题考查了导数的计算，考查了函数的奇偶性，考查了两角和与差的余弦公式，属于中档题.
33．D
【解析】
【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】
是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
34．C
【解析】
【分析】
依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】
令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
35．B
【解析】
当是奇函数时，设，可得不成立，反之取，可得，令，可得，即得到答案.
【详解】
当是奇函数时，设
若取，则，
，显然此时.
所以当是奇函数不能得到成立.
若成立时，取，可得
即得到.
令，则有，即
所以此时是奇函数.
所以“是奇函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断和函数奇偶性的判断以及应用，属于基础题题.
36．B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
37．C
【解析】
【分析】
先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象.
【详解】
定义域为，，
则，为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
，故排除A；
∵，当时，可得，当时，，单调递增，故排除D.
故选：C.
38．AD
【解析】
【分析】
由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】
对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；
故选：AD
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.
39．AC
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，
在上是增函数，故A正确；
对B，为奇函数，故B错误；
对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；
对D，令，为偶函数，
当，为减函数，故D错误，
故选：AC
40．ACD
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
41．BC
【解析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
42．
【解析】
【分析】
根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】
解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
设,则,当时,于是可求得,再利用偶函数的性质,即可求得函数的解析式.
【详解】
设,则
根据偶函数
故答案为:.
【点睛】
已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出的解析式.
44．(答案不唯一)
【解析】
根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.
【详解】
若，则是偶函数，
但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.
45．
【解析】
【分析】
求导可得在上单调递增，结合是奇函数，可转化
为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解
【详解】
因为时，，所以在上单调递增.
又是奇函数，由，
得，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
46．1
【解析】
【分析】
由已知奇偶性可得，结合已知解析式可求出，即可求出.
【详解】
因为，且是偶函数，则，
，
即，所以实数．
故答案为: 1.
47．
【解析】
【分析】
根据，求得的值，即可求出的表达式进而可以求的值域。
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
所以
因为，所以，所以
故答案为：
【点睛】
此题考查奇函数性质，分式函数值域问题，属于简单题目。
48．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
49．（1）；作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，
（2）结合函数的图象可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：（1）当时，，．
由是偶函数，得．
所以．
函数的图象，如图．
（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．
要使在上单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是．
50．(1)，不等式解集为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由奇函数定义可得，由此可得，由此可将不等式化为，解不等式得，由指数函数单调性可得的范围；
（2）令，将恒成立的不等式转化为，由的范围和二次函数性质可求得的最小值，由此可得的范围.
(1)
为奇函数，对恒成立，
即对恒成立，.
此时，即，
或（舍），解得：，不等式的解集为.
(2)
由得：，即，
当时，令，原问题等价对恒成立，
即对恒成立，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，，，
即的取值范围为.
51．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【详解】
解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】
本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
52．（1）；（2）当时，；在上的图象见解析；（3）的单调递增区间为和，递减区间为
【解析】
【分析】
（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当时，的解析式，并画出图像；
（3）利用的图象写出单调区间即可
【详解】
（1）设，
则
（2），
当时
设则，
是上的奇函数
即当时，
图象如下图所示：
（3）由在上的图象可知：
的单调递增区间为和，递减区间为
1. 函数的奇偶性
2. 函数奇偶性的几个常用结论
(1)具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件.
(2)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上.
(5)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
(6)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
(7)常用的两个等价关系
①f(x＋a)为偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②f(x＋a)为奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【题型归纳】
题型一：函数奇偶性的定义与判断
1．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：由奇偶性求函数解析式
4．已知为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：函数奇偶性的应用
7．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
9．已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a＝f（lg0．53），b＝f（lg25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．
题型四：由奇偶性求参数
10．已知命题的展开式中的常数项为7，命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知奇函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
12．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【双基达标】
13．设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：
①；
②；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象关于点对称；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
15．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
16．已知是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
17．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
21．已知函数，则（ ）
A．0B．2C．2021D．2022
22．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
23．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．B．4C．8D．或8
25．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
26．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1B．2C．D．
27．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．，且
28．已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
30．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
31．函数对任意，都有的图形关于对称，且 则（ ）
A．-1B．1C．0D．2
32．设函数，若的导函数是偶函数，则可以是（ ）
A．B．C．D．
33．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A．B．
C．D．
34．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
35．若是定义在上的函数，则“是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
36．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
37．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
38．已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
39．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
40．下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
41．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
三、填空题
42．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
43．已知函数是偶函数，且当时，，则当时，该函数的解析式为__________
44．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
45．已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
46．函数是偶函数，则实数__________．
47．已知定义域为的函数是奇函数，则函数的值域为___________．
四、解答题
48．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
49．若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
50．已知函数，（，）.
(1)若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
51．设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
52．已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象
（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象
特点
关于y轴对称
关于原点对称
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义即可判断.
【详解】
，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：为偶函数，且在上单调递减，故B错误；
对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，又，所以在上单调递增，故D正确；
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
结合基本函数的函数的性质和零点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，函数的对称轴为轴，故是偶函数，
令得，所以的零点为．不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意．
对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，
令，此时方程无解，所以函数无零点，不符合题意.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据为偶函数， 求出当时，，再求出导函数，代入即可得解.
【详解】
当时，，则，此时，
所以．
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
根据当时奇函数满足，结合奇函数在R上满足求解即可
【详解】
因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故
故选：C
6．B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质计算可得；
【详解】
解：当时，则，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
所以当时．
故选：B
7．A
【解析】
【分析】
由奇偶性和单调性求解即可
【详解】
为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
利用奇偶性可排除BC；利用时，可排除A.
【详解】
定义域为，又，
为定义域上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；
当时，，，，可排除A.
故选：D.
9．B
【解析】
【分析】
先求出m＝0，进而判断出的图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．由0＜lg23＜lg25，即可得到c＜a＜b．
【详解】
由函数为偶函数，
所以，即，解得m＝0，
即f（x）＝2|x|－1，其图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
又a＝f（lg0．53）＝f（－lg23）＝f（lg23），b＝f（lg25），
c＝f（0），且0＜lg23＜lg25，所以c＜a＜b．
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
先判断的真假，再利用复合命题的真值表判断即可
【详解】
的展开式中的常数项为，
故命题为真命题，进而为假命题；
若函数为奇函数，则，则，即，
故命题为假命题，为真命题．
所以为假命题， 为真命题，为假命题，为假命题，
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
先由奇函数及周期求得，再由平移求得，再利用正弦函数的对称性求解即可.
【详解】
因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，
则，则，令，
解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A正确，B错误；
令，解得，当时，，时，，C错误，D错误.
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
求出两个条件中参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若函数在上单调递减，则，
若函数为偶函数，则，解得，
因为，
因此，函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
13．C
【解析】
令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.
【详解】
令，
①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；
②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；
因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，
又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C.
【点睛】
结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：
（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；
（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.
14．B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
15．D
【解析】
【分析】
由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】
因为对任意的，有，
所以当时，，所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．
16．D
【解析】
【分析】
结合的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.
【详解】
因为是实数集上的偶函数，所以，，
又因为在区间上是增函数，并且，所以，
所以，所以D选项的正确的．
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
17．D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
18．A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 .
19．A
【解析】
【分析】
可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】
根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
20．C
【解析】
【分析】
根据函数奇函数的概念可得，进而结合对数的运算即可求出结果.
【详解】
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.
【详解】
因为，
，
即，所以是偶函数，所以，
又因为
，
所以，
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可
【详解】
对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，
故选：A
23．D
【解析】
【分析】
通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
24．D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】
解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
25．C
【解析】
【分析】
令，可根据已知等式验证出为偶函数，同时根据导数得到的单调性；将所求不等式转化为，根据单调性可得到，解不等式求得结果.
【详解】
令，则，
，，，
为定义在上的偶函数；
当时，，在上单调递减，
又为偶函数，在上单调递增.
由得：
，即，
，解得：，即不等式的解集为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.
26．B
【解析】
【分析】
利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】
设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
27．B
【解析】
【分析】
根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
28．A
【解析】
【分析】
由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.
【详解】
由，知是偶函数，
不等式等价为，
当时，，在区间上单调递增，
解得：.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.
29．A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
30．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
31．B
【解析】
【分析】
根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到，计算得到答案.
【详解】
函数周期为，，
的图形关于对称，故关于对称，.
故.
故选：B.
32．A
【解析】
求出导函数，根据偶函数的性质得到，，,当时，.
【详解】
因为，
所以，
因为为偶函数，所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以，所以，.
当时，.
故选：A
【点睛】
本题考查了导数的计算，考查了函数的奇偶性，考查了两角和与差的余弦公式，属于中档题.
33．D
【解析】
【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】
是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
34．C
【解析】
【分析】
依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】
令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
35．B
【解析】
当是奇函数时，设，可得不成立，反之取，可得，令，可得，即得到答案.
【详解】
当是奇函数时，设
若取，则，
，显然此时.
所以当是奇函数不能得到成立.
若成立时，取，可得
即得到.
令，则有，即
所以此时是奇函数.
所以“是奇函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断和函数奇偶性的判断以及应用，属于基础题题.
36．B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
37．C
【解析】
【分析】
先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象.
【详解】
定义域为，，
则，为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
，故排除A；
∵，当时，可得，当时，，单调递增，故排除D.
故选：C.
38．AD
【解析】
【分析】
由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】
对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；
故选：AD
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.
39．AC
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，
在上是增函数，故A正确；
对B，为奇函数，故B错误；
对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；
对D，令，为偶函数，
当，为减函数，故D错误，
故选：AC
40．ACD
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
41．BC
【解析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
42．
【解析】
【分析】
根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】
解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
设,则,当时,于是可求得,再利用偶函数的性质,即可求得函数的解析式.
【详解】
设,则
根据偶函数
故答案为:.
【点睛】
已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出的解析式.
44．(答案不唯一)
【解析】
根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.
【详解】
若，则是偶函数，
但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.
45．
【解析】
【分析】
求导可得在上单调递增，结合是奇函数，可转化
为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解
【详解】
因为时，，所以在上单调递增.
又是奇函数，由，
得，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
46．1
【解析】
【分析】
由已知奇偶性可得，结合已知解析式可求出，即可求出.
【详解】
因为，且是偶函数，则，
，
即，所以实数．
故答案为: 1.
47．
【解析】
【分析】
根据，求得的值，即可求出的表达式进而可以求的值域。
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
所以
因为，所以，所以
故答案为：
【点睛】
此题考查奇函数性质，分式函数值域问题，属于简单题目。
48．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
49．（1）；作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，
（2）结合函数的图象可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：（1）当时，，．
由是偶函数，得．
所以．
函数的图象，如图．
（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．
要使在上单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是．
50．(1)，不等式解集为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由奇函数定义可得，由此可得，由此可将不等式化为，解不等式得，由指数函数单调性可得的范围；
（2）令，将恒成立的不等式转化为，由的范围和二次函数性质可求得的最小值，由此可得的范围.
(1)
为奇函数，对恒成立，
即对恒成立，.
此时，即，
或（舍），解得：，不等式的解集为.
(2)
由得：，即，
当时，令，原问题等价对恒成立，
即对恒成立，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，，，
即的取值范围为.
51．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【详解】
解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】
本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
52．（1）；（2）当时，；在上的图象见解析；（3）的单调递增区间为和，递减区间为
【解析】
【分析】
（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当时，的解析式，并画出图像；
（3）利用的图象写出单调区间即可
【详解】
（1）设，
则
（2），
当时
设则，
是上的奇函数
即当时，
图象如下图所示：
（3）由在上的图象可知：
的单调递增区间为和，递减区间为
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