初中人教版8.1 二元一次方程组同步练习题

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专题11.5 二元一次方程组十四大必考点
【人教版】


【考点1 二元一次方程（组）的概念】 1
【考点2 二元一次方程组的解】 3
【考点3 解二元一次方程组】 5
【题型4 同解方程组】 8
【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】 11
【题型6 构造二元一次方程组求解】 14
【考点7 二元一次方程的整数解】 16
【考点8 二元一次方程组的特殊解法】 20
【考点9 二元一次方程组的新定义问题】 23
【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】 26
【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 29
【考点12 二元一次方程（组）的应用】 34
【考点13 三元一次方程组的解法】 39
【考点14 三元一次方程组的应用】 42


【考点1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2-5x＝5，④x﹣1y+2＝0中，为二元一次方程的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程进行判断．
【详解】解：①2x﹣3y＝1，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程；
②xy＝﹣2，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程；
③x2-5x＝5，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程；
④x﹣1y+2＝0不是整式方程，不是二元一次方程；
故选：A．
【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ）
①4x+y=2x-2y=-3；②2x-y=1y+z=1；③x=3y-5=0；④x-2y2=3x+3y=1．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；
②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；
③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；
④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【变式1-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知(a-2)x+a2-3+y=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为________．
【答案】a≠2
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得a-2≠0，再解即可．
【详解】解：依题意得：a-2≠0，
解得a≠2．
故答案是：a≠2．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．熟记二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期末）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________．
【答案】x=-1y=2
【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解即可求解；
【详解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1，
∴ax+ay+y=a+2
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解
∴令a=0，则y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2
得：ax=-a，
∴x=-1，
∴公共解为x=-1y=2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解题的关键．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组2x+y=▴x+y=3的解为x=2y=◼，则被遮盖的两个数▲和■分别为(   )
A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4
【答案】B
【分析】将x=2代入x+y=3中求出y的值，将x，y的值代入2x+y求值即可得出答案．
【详解】解：将x=2代入x+y=3中得：y=1，
2x+y=2×2+1=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是方程组两个方程的公共解是解题的关键．
【变式2-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组ax+5y=15①4x=by-2②时，乐乐看错了方程①中的a，解得x=-3y=-1，果果看错了方程②中的b，解得x=5y=4，求a2021+-b102022的值．
【答案】0
【分析】把x=-3y=-1代入②得出-12=-b-2可求出b，把x=5y=4代入①得出5a+20=15可求出a，然后再代入求代数式的值即可．
【详解】解：∵甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x=by-2②时，甲看错了方程①中的a，解得x=-3y=-1，乙看错了方程②中的b，解得x=5y=4，
∴把x=-3y=-1代入②，得-12=-b-2，解得：b=10，
把x=5y=4代入①，得5a+20=15，解得：a=-1，
∴a2021+(-b10)2022
=(-1)2021+(-1010)2022
=-1+1
=0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于a、b的一元一次方程求得a、b的值．
【变式2-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若x=1y=-2和x=-1y=-4是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ）
A．x+2y= -3 B．2x-y=0 C．y=3x-5 D．x-3=y
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、当x=-1，y=-4时，x+2y=-9≠-3,
故x=-1y=-4不是方程x+2y= -3的解，不符合题意；
B、当x=1，y=-2时，2x-y=2+2≠-3,
故x=1y=-2不是方程2x-y=0的解，不符合题意；
C、当x=-1，y=-4时，y=3x-5=-8≠-4，
故x=-1y=-4不是方程y=3x-5的解，不符合题意；
D、当x=1y=-2和x=-1y=-4时，方程x-y=3都成立，
故x=1y=-2和x=-1y=-4是方程x-y=3的解，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
【变式2-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于x、y的方程组x+y=1-ax-y=3a+5，则下列结论中正确的有(    )
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解；
②当x=y时，a=-53；
③不论a取什么数，2x+y的值始终不变．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】将已知代入二元一次方程组后进行判断，可知①②是否正确；用代入消元法解二元一次方程组，然后再求2x+y即可判断③是否正确．
【详解】解：当a=1时，x+y=0，
故①不符合题意；
当x=y时，3a+5=0，
∴a=-53，
故②符合题意；
x+y=1-a①x-y=3a+5②，
①+②得，x=a+3，
将x=a+3代入①得，y=-2-2a，
∴2x+y=2a+6-2-2a=4，
∴2x+y的值始终不变，
故③符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期末）关于x，y方程组3x+5y=m+22x+3y=m满足x，y的和为2，则m2-2m+1的值为______．
【答案】9
【分析】先求出方程组的解，然后结合x+y=2，求出m的值，再代入计算，即可求出答案．
【详解】解：∵3x+5y=m+22x+3y=m，
解方程组，得x=2m-6y=-m+4，
∵x+y=2，
∴2m-6-m+4=2，
解得m=4，
∴m2-2m+1=(m-1)2=(4-1)2=9；
故答案为：9
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，求代数式的值，解题的关键是正确的求出方程组的解，从而求出m的值．
【变式3-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax-2y=4的解也是方程组3x-by=54x-5y=-6的解求a,b的值．
【答案】a=5,b=-1
【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案．
【详解】3x+y=5① 4x-5y=-6②，①×（-5）－②得，-19x=-19，解得x=1，
把x=1代入①得，3+y=5，解得y=2，
所以方程组3x+y=54x-5y=-6的解是x=1y=2，
把x=1y=2代入方程组ax-2y=43x-by=5，得a-4=13-2b=5，解得a=5b=-1，
故答案为：a=5,b=-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组．
【变式3-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组
(1)y=2x-43x+y=1
(2)3(x+y)-4(x-y)=4x+y2+x-y6=1
【答案】(1)x=1y=-2
(2)x=1715y=1115

【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）先化简方程，再用加减法求解即可．
（1）
解：y=2x-4①3x+y=1②，
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为x=1y=-2；
（2）
解：方程组整理得：-x+7y=4①2x+y=3②，
①×2+②得：15y＝11，
解得：y＝1115，
②×7﹣①得：15x＝17，
解得：x＝1715，
则方程组的解为x=1715y=1115．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．
【变式3-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
【答案】（1）a=103，b=-53；（2）36
【分析】（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+1，得出关于a、b的方程组，再求出方程组的解即可；
（2）把x=-3代入（1）中所求的结果，即可求出y．
【详解】解：（1）根据题意，得a-b+1=6①4a+2b+1=11②，
①×2+②，得6a+3=23，
解得：a=103，
把a=103代入①，得103-b+1=6，
解得：b=-53；
（2）y=103x2-53x+1，
当x=-3时，y=103×(-3)2-53×(-3)+1=36．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
【题型4 同解方程组】
【例4】（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组2x-y=7ax+y=b和方程组x+by=a3x+y=8有相同的解，则a，b的值分别为（　　　）
A．a=1b=2 B．a=4b=-6 C．a=-6b=2 D．a=14b=2
【答案】A
【分析】先根据方程组2x-y=7①3x+y=8②，求出x=3，y=-1再代入ax+y=b和x+by=a中，得到关于a、b的方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：2x-y=7①3x+y=8②，
由①+②得：5x=15，
解得：x=3，
把x=3代入①得：6-y=7，
解得：y=-1，
把x=3，y=-1代入ax+y=b和x+by=a中得：
3a-1=b3-b=a，解得：a=1b=2．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数．
【变式4-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知方程组3x-2y=4mx+ny=7与mx+3ny=515y-x=3有相同的解，则m+n=_______．
【答案】292
【分析】根据两个方程组解相同，可先求出x、y的值，再将x、y的值代入其余两个方程即可求出m、n的值．
【详解】解：根据题意，得5y-x=33x-2y=4，
解得x=2y=1，
把x、y的值代入方程组mx+ny=7mx+3ny=51，
可得2m+n=72m+3n=51，
解得m=-152n=22．
∴m+n=292．
故答案为：292．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出x、y的值．
【变式4-2】（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）关于x，y的两个方程组ax-2by=22x-y=7和3ax-5by=93x-y=11有相同的解，则ab的值是（    ）
A．23 B．32 C．-23 D．12
【答案】A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组ax-2by=23ax-5by=9和2x-y=73x-y=11，先计算不含参的二元一次方程组2x-y=73x-y=11，得x,y的值，然后代入含参的二元一次方程组ax-2by=23ax-5by=9，求a,b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组ax-2by=23ax-5by=9和2x-y=73x-y=11有相同的解
解方程组2x-y=7①3x-y=11②
②-①得x=4
将x=4代入①式得2×4-y=7
解得y=1
∴方程组的解为x=4y=1
将x=4y=1代入方程组ax-2by=23ax-5by=9得4a-2b=212a-5b=9
解关于a,b的方程组4a-2b=2③12a-5b=9④
③×3-④得-b=-3
解得b=3
将b=3代入③式得4a-2×3=2
解得a=2
∴方程组的解为a=2b=3
∴ab=23
故选A．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
【变式4-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=4ax+by=7和ax-by=-1x-2y=-3的解相同，求a+b的值．
【答案】5
【分析】先联立2x+y=4x-2y=-3，求出x和y的值，代入ax+by=7ax-by=-1，求出a和b的值即可．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组2x+y=4ax+by=7和ax-by=-1x-2y=-3的解相同，
∴联立2x+y=4x-2y=-3，
解方程组，得x=1y=2，
将x=1y=2代入ax+by=7ax-by=-1得a+2b=7a-2b=-1，
解方程组，得a=3b=2，
∴a+b＝2+3＝5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出x和y的值是解题的关键．
【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】
【例5】（2021·山东滨州·七年级期末）解方程组ax+by=2cx-7y=8时，一学生把c看错而得到x=-2y=2，而正确的解是x=3y=-2，那么a+b+c的值为（  ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】先将两组解代入方程组中的第一个方程可得关于a,b的方程组，解方程组可得a,b的值，再将x=3y=-2代入方程组中的第二个方程可得c的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：由题意，将x=-2y=2和x=3y=-2代入方程ax+by=2得：-2a+2b=23a-2b=2，
解得a=4b=5，
将x=3y=-2代入cx-7y=8得：3c+14=8，解得c=-2，
则a+b+c=4+5+(-2)=7，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
【变式5-1】（2022·四川巴中·七年级期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组3x-by=-1①ax+by=-5②时，甲因看错a得到方程组的解为x=1y=2，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为x=-1y=-1．
(1)求a、b的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)a=7，b=2
(2)x=-35y=-25

【分析】（1）将x=1y=2代入3x-by=-1①ax+by=-5②算出b，将x=-1y=-1代入3x-by=-1①ax+by=-5②算出a即可；
（2）将a b的值代入二元一次方程组中，解出即可．
(1)
解：甲看错方程组中的
3x-by=-1①ax+by=-5②的a，得到方程组的解为x=1y=2．
∴将x=1y=2代入①得：3-2b=-1，
∴b=2
∵乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解x=-1y=-1，
∴将x=-1y=-1代入ax-by=-5中
得：a=7；
(2)
解：将a=7b=2代入3x-by=-1①ax+by=-5②中得：7x+2y=-53x-2y=-1 ，
解得x=-35y=-25 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
【变式5-2】（2018·江西宜春·七年级期末）已知方程组ax-5y=15①4x-by=-2②由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=-3y=-1；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=5y=4，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
【答案】x=165y=3725
【分析】把甲的结果代入方程②求出b的值，把乙的结果代入方程①求出a的值，然后可确定出方程组，利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】解：由题意，把x=-3y=-1代入方程②得：-12+b=-2，解得b=10，
把x=5y=4代入方程①得：5a-20=15，解得a=7，
则方程组为7x-5y=15①4x-10y=-2②，
由①×2-②得：14x-4x=30+2，
解得x=165，
将x=165代入①得：7×165-5y=15，
解得y=3725，
则方程组的解为x=165y=3725．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
【变式5-3】（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x-by=-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=-1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)x=4513y=813

【分析】（1）把x=3y=-1代入ax+5y=10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把x=5y=4代入4x-by=-4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把x=3y=-1代入4x-by=-4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把x=5y=4代入ax+5y=10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
【详解】（1）解：把x=3y=-1代入ax+5y=10，
可得：3a+5×-1=10，
解得：a=5，
把x=5y=4代入4x-by=-4，
可得：4×5-4b=-4，
解得：b=6，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把x=3y=-1代入4x-by=-4，
可得：12+b=-4，
解得：b=-16，
把x=5y=4代入ax+5y=10，
可得：5a+20=10，
解得：a=-2，
把a=-2，b=-16代入原方程组，
可得：-2x+5y=10①4x+16y=-4②，
由②得：2x+8y=-2③，
由①+③，可得：13y=8，
∴y=813，
把y=813代入①，可得：-2x+5×813=10，
解得：x=-4513，
∴原方程组的解x=4513y=813．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题：3x+m4x+n，小王由于抄错了一个多项式中m的符号，得到的结果为12x2-17x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为6x2-5x-6，则这道题的正确结果是_________．
【答案】12x2-x-6
【分析】利用小王和小明的解法列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值，再将m，n的值代入原式计算即可．
【详解】解：由小王的解法可知3x-m4x+n=12x2-17x+6，
即12x2+3n-4mx-mn=12x2-17x+6，
可知3n-4m=-17；
由小红的结果可知小红将4抄成2，
故3x+m2x+n=6x2-5x-6，
即6x2+3n+2mx+mn=6x2-5x-6，
可知3n+2m=-5；
联立得3n-4m=-173n+2m=-5，
解得m=2n=-3，
将m=2n=-3代入3x+m4x+n得3x+24x-3=12x2-x-6．
故答案为：12x2-x-6．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算及解二元一次方程组，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键．
【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（    ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【分析】根据题中的新定义的运算法则，列出方程组，解方程组求出a与b的值，再代入(3*6)计算即可．
【详解】解：根据题中的新定义，可得2a+5b+1=104a+7b+1=28，
解方程组，得a=12b=-3，
∴3*6=3×12+6×(-3)+1=19．
故选：B．
【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，理解定义新运算公式，掌握二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
【变式6-2】（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当x=1时，多项式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且当x=-1该多项式值为0，则a+c+e的值是（    ）
A．8 B．16 C．32 D．无法确定
【答案】B
【分析】根题意分别把x=1、x=-1代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案．
【详解】解析：∵当x=1时，多项式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且当x=-1该多项式值为0，
∴代入得：a+b+c+d+e+f=32①a-b+c-d+e-f=0②，
①＋②得：2a+2c+2e=32，两边都除以2得：a+c+e=16，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大．
【变式6-3】（2022·安徽安庆·七年级期末）当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】D
【分析】根据整数的性质可知当a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1时，a-b=0ab=1，或a-b=1ab=0，再根据绝对值的定义以及有理数的混合运算法则分别求出满足a-b=0ab=1与满足a-b=1ab=0的有序整数对即可．
【详解】解：∵a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1，
∴a-b=0ab=1，或a-b=1ab=0．
满足a-b=0ab=1的有序整数对有（1，1），（-1，-1）；
满足a-b=1ab=0的有序整数对有（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1）．
综上所述，满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1），一共6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算，绝对值的定义，数的整除，掌握数的整除性以及运算法则是解题的关键．
【考点7 二元一次方程的整数解】
【例7】（2022·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．
【答案】     x=1y=3     无数
【分析】把x看做已知数求出y，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．
【详解】解：方程3x+8y=27，
解得：y=3(9-x)8,
∵当x、y是正整数时，9-x是8的倍数，
∴x=1，y=3；
∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个，即x=1y=3；
∵当x、y是整数时，9-x是8的倍数，
∴x可以有无数个值，如-7,-15,-23，……；
∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个.
故答案是：x=1y=3；无数.
【点睛】此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题，解题的关键是将x看做已知数求出y．
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
【答案】k=26，10，8，-8．
【分析】将原式转化，得到(9-k)x=17，根据x与k均为整数，即可推出k的值．
【详解】9x-3=kx+14，
(9-k)x=17，
∵x，k都是整数，
∴(9-k)，x都是整数，
∴9-k=-17，-1，1或17，
∴k=26，10，8，-8．
【点睛】本题考查了方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的范围内通过试解即可得到k的值．
【变式7-2】（2022·重庆一中八年级开学考试）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“M数”，将一个“M数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“M数”m=1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F1234=205．
(1)计算：F1213，F8567；
(2)若“M数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），Fn也是“M数”，且Fn能被8整除．求FFn的值．
【答案】(1)190,1049.
(2)195或198.

【分析】（1）直接根据阅读部分提供的运算法则进行运算即可；
（2）先求解Fn =1160+7x+y, 结合Fn能被8整除，可得7x+y能够被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，x≠y,再分类讨论即可.
(1)
解：F1213=213+113+123+121÷3=190,
F8567=567+867+857+856÷3=1049.
(2)
解：∵ “M数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），
∴ Fn=900+10x+y+800+10x+y+890+y+890+x÷3
=1160+7x+y,
∵ Fn能被8整除，
∴7x+y能够被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，x≠y,
∴ 当x=1,y=9, Fn=1160+7+9=1176,
此时FFn=F1176=176+176+116+117÷3=195,
当x=9,y=1, Fn=1160+63+1=1224,
此时FFn=F1224=224+124+124+122÷3=198.
【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义运算，数的整除，二元一次方程的正整数解问题，考查方式比较新颖，理解“M数”的具体特征是解决问题的关键．
【变式7-3】（2022·重庆涪陵·七年级期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”．当三位自然数m为“三峡数”时，交换m的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n，规定F(m)=m-n99．例如：当m=583时，因为5+3=8，所以583是“三峡数”；此时n=385，则F(m)=m-n99=583-38599=19899=2．
(1)判断341和153是否是“二峡数”？并说明理由；
(2)求F352的值；
(3)若三位自然数m=100a+10a+b+b（即m的百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数，1≤a+b≤9）为“三峡数”，且Fm=5时，求满足条件的所有三位自然数m．
【答案】(1)341是“三峡数”，153不是“三峡数”，理由见解析
(2)F(352)=1
(3)所有满足条件的m是671、792

【分析】（1）根据三峡数的定义分析即可；
（2）根据F(m)=m-n99计算；
（3）根据Fm=5列出关于a、b的二元一次方程，然后根据1≤a≤9，1≤b≤9求解；
(1)
341是“三峡数”，∵3+1=4=4，∴341是“三峡数”；
153不是“三峡数”，∵1+3=4≠5，∴153不是“三峡数”；
(2)
F(352)=352-25399=9999=1；
(3)
由题知m=100a+10(a+b)+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数），
则n=100b+10(a+b)+a，
∴F(m)=m-n99=100a+10a+10b+b-100b-10a-10b-a99，
=99(a-b)99
=a-b，
则a-b=5（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数）1≤a+b≤9，
a=6b=1，a=7b=2，
m=671，792，
答：所有满足条件的m是671、792.
【点睛】本题考查了新定义，以及解二元一次方程，正确理解“三峡数”的定义是解答本题的关键．
【考点8 二元一次方程组的特殊解法】
【例8】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）数学方法：
解方程组：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13，若设2x+y=m，x-2y=n，则原方程组可化为3m-2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=-1，所以2x+y=8x-2y=-1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=-2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm-n=6bm+n+am-n=3的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2-x-y3=42x+y+x-y=16．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【答案】(1)m=1n=-3
(2)x=4y=4
(3)x=10y=-5

【分析】（1）设m+n=x，m-n=y，即可得m+n=-2m-n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x-y3=n，则原方程组可化为m-n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，可得m=4n=-3，即有2x5=43y5=-3，则问题得解．
（1）
设m+n=x，m-n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=-2y=4，
∴m+n=-2m-n=4，
解得m=1n=-3，
故答案为：m=1n=-3；
（2）
设x+y2=m，x-y3=n，则原方程组可化为m-n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x-y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）
设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，
∴m=4n=-3，即有2x5=43y5=-3，
解得：x=10y=-5，
故方程组的解为：x=10y=-5．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
【变式8-1】（2022·上海市复旦实验中学八年级期末）用换元法解方程组5x-6y+1=11x+2y+1=1时，可设1x=u,1y+1=v,则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____．
【答案】5u-6v=1u+2v=1
【分析】将1x=u,1y+1=v代入原方程组即可得．
【详解】解：将1x=u,1y+1=v代入方程组5x-6y+1=11x+2y+1=1
得：5u-6v=1u+2v=1，
故答案为：5u-6v=1u+2v=1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解题关键．
【变式8-2】（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级期末）解方程组：x+y=22①4x+y-5x-y=-2②
【答案】x=20y=2
【分析】把x+y和x-y分别作为整体，然后利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：x+y=22①4x+y-5x-y=-2②，
由①×4-②得：x-y=18③，
由①+③得：2x=40，
解得：x=20，
把x=20代入③得：20-y=18，
解得：y=2，
所以原方程组的解为x=20y=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入思想解答是解题的关键．
【变式8-3】（2022·北京朝阳·七年级期末）阅读下列材料并填空：
（1）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表4    3    541     3     36，求得一次方程组的解x=ay=b，用数可表示为1     0      a0     1      b．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
．
从而得到该方程组的解为x=__________y=__________．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组2x+3y=6x+y=2的过程．
【答案】（1）x=6y=10（2）x=0y=2
【详解】试题分析：（1）下行-上行后将下行除以3将y的系数化为1即可得到方程的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将x、y的系数化为1即可.
试题解析：（1）下行-上行     1       0       60      1          10，
x=6y=10．
（2）
从而得到方程组成的解为x=0y=2．
【考点9 二元一次方程组的新定义问题】
【例9】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）我们规定：m表示不超过m的最大整数，例如：3.1=3，0=0，-3.1=-4，则关于x和y的二元一次方程组x+y=3.2，x-y=3.2的解为（    ）
A．x=3.2，y=0.2 B．x=2.4，y=1.2 C．x=3，y=0.2 D．x=3.4，y=0.2
【答案】C
【分析】根据[m]的意义可得[3.2]=3，[x]和[y]均为整数，两方程相减可求出y=0.2，[y]=0，将[y]=0代入第二个方程可求出x．
【详解】解：x+y=3.2①x-y=3.2②，
∵[m]表示不超过m的最大整数，
∴[3.2]=3，[x]和[y]均为整数，
∴x为整数，即[x]=x，
∴①－②得：y+[y]=0.2，
∴y=0.2，[y]=0，
将[y]=0代入②得：x=3，
∴x=3y=0.2．
故选：C．
【点睛】此题考查了新定义以及解二元一次方程组，解题的关键是正确理解[m]的意义．
【变式9-1】（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）如果一个正整数m=a²-b²(a,b均为正整数，且a≠b)我们称这个数为“平方差数”，则a,b为m的一个平方差分解，规定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8= a²-b²=(a-b)(a+b)，可得{a+b=8a-b=1或{a+b=4a-b=2.因为a,b为正整数，解得{a=3b=1，所以F（8）=13.试求F（45）的值为_____
【答案】23或27或2223．
【分析】根据题目的例子的形式，对所给的数进行分解，若算出来的a，b均为正整数，再求值即可.
【详解】根据题意，45=3×15=5×9=1×45，由45=a2-b2=（a+b）（a-b），可得
{a+b＝15a-b＝3或{a+b＝9a-b＝5或{a+b＝45a-b＝1．
∵a和b都为正整数，解得{a＝9b＝6或{a＝7b＝2或{a＝23b＝22
∴F（45）=23或27或2223．
故答案为23或27或2223．
【点睛】此题为阅读材料题，考查学生的自主学习能力和应变能力.
【变式9-2】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)x-y=-32.
(2){x=5y=-6.

【分析】（1）根据新定义的含义可得2x-2y=-3,从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组{3x+2y=3-2x-3y=8,再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴2x-2y=-3,
∴x-y=-32.
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴{3x+2y=3-2x-3y=8,
整理得：{3x+2y=3①2x+3y=-8②，
①+②得：x+y=-1，y=-x-1 ③
把③代入①得：x=5,
把x=5代入②得：y=-6,
∴{x=5y=-6.
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式9-3】（2022·江苏南通·七年级期末）定义：数对x,y经过一种运算可以得到数对x',y'，将该运算记作：
dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax-by（a，b为常数）．
例如，当a=1，b=1时，d-2,3=1,-5．
(1)当a=2，b=1时，d3,1=__________；
(2)若d-3,5=-1,9，求a和b的值；
(3)如果组成数对x,y的两个数x，y满足二元一次方程x-3y=0时，总有dx,y=-x,-y，则a=__________，b=__________．
【答案】(1)7,5；
(2)a=-43b=-1
(3)-23；-1

【分析】（1）根据新定义运算进行计算即可求解；
（2）根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）根据题意可得x=3y，然后根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
（1）
解：依题意，当a=2，b=1时，
x'=2×3+1×1=7,y'=2×3-1×1=5
∴ d3,1= 7,5
（2）
∵d-3,5=-1,9，
∴-3a+5b=-1-3a-5b=9，
解得a=-43b=-1．
∴a和b的值分别为-43，-1；
（3）
∵x-3y=0
∴ x=3y
∴ dx,y=-x,-y=-3y,-y
∴-3y=-3ya+by-y=-3ya-by
即-3=-3a+b-1=-3a-b
解得a=23b=-1
故答案为：-23；-1．
【点睛】本题考查了新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键．
【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】
【例10】（2022秋·四川成都·七年级统考期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则a+b的值为（    ）

A．2 B．-2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，得到a+12+-2=10+4+-2b+12+4=10+4+-2，由此求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：∵每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，
∴a+12+-2=10+4+-2b+12+4=10+4+-2，
∴a=2b=-4，
∴a+b=2+-4=-2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够根据题意求出a、b的值．
【变式10-1】（2022春·北京石景山·七年级统考期末）下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
序号

1

2

3

……

n

方程组

{2x+y=3x-2y=4

{2x+y=5x-4y=16

{2x+y=7x-6y=36






方程组解

{x=2y=-1

{x=4y=-3

{x=6y=-5






按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【答案】{2x+y=2n+1x-2ny=4n2，{x=2ny=-2n+1
【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.
解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n+1x-2ny=4n2，它的解为{x=2ny=-2n+1（n为正整数）.
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.
【变式10-2】（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______．

【答案】s=3(n-1)
【详解】根据图片可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2-3；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3-3；
第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4-3；
…
所以s=3n-3=3（n﹣1）．
【点睛】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．
【变式10-3】（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级统考期中）观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a+b﹣m＝_____．

【答案】﹣7
【分析】由表二结合表一即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三结合表一即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中设42为第x行y列，则75为第（x+1）行（y+2）列，结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，将a、b、m的值代入a-b+m即可得出结论．
【详解】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，
∴a-15=15-12，解得：a=18；
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，
∴42-b-1=36-30，解得：b=35；
表四截取的是两行三列的相邻的六个数字：设42为第x行y列，则75为第（x+1）行（y+2）列，
则有 xy＝42x+1y+2＝75，
解得：x＝14y＝3 或 x＝32y＝28（舍去），
∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．
∴a+b﹣m=18+35-60=-7．
故答案为-7
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，规律型：数字变化类，根据表一中数的排列特点通过解方程（或方程组）求出a、b、m的值是解题关键．
【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例11】（2022秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）阅读下列材料，回答问题．
对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为Fn．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，因为666÷111=6，所以F123=6．
(1)计算：F341= ，F625= ；
(2)若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y，1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数，规定k=Fs-Ft，当Fs+Ft=19时，求k的最小值．
【答案】(1)8，13
(2)k的最小值为-7

【分析】（1）根据F(n)的定义式，分别将n=341和n=625代入F(n)中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=19，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F(n)的定义式，即可求出F(s)、F(t)的值，将其代入k=Fs-Ft中，找出最小值即可.
【详解】（1）F(341)=(431+143+314)÷111=8；
F(625)=(265+526+652)÷111=13．
故答案为：8，13；
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5，
F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6．
∵F(t)+F(s)=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=19，
∴x+y=8．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ x=1y=7或x=2y=6或x=3y=5或x=4y=4或x=5y=3或x=6y=2或x=7y=1．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3，y≠1，y≠5．
∴x=1y=7或x=4y=4或x=5y=3或x=6y=2
∴Fs=6Ft=13或Fs=9Ft=10或Fs=10Ft=9或Fs=11Ft=8，
∴k=Fs-Ft =6-13=-7或k=Fs-Ft=9-10=-1或k=Fs-Ft=10-9=1或k=Fs-Ft=11-8=3，
∴k的最小值为-7．
【点睛】本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键．
【变式11-1】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）【阅读理解】我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例如：由2x+3y＝12，得：y=12-2x3=4-23x（x、y为正整数）．
要使y=4-23x为正整数，则23x为正数可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y=4-23x=2．
所以2x+3y＝12的正整数解为x=3y=2．
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y＝8的正整数解．
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法？
【答案】(1)x=2y=1
(2)共有3种截法

【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）设截成2米长的x段，截成3米长的y段，则根据题意得：2x＋3y＝20，其中x、y均为自然数，解该二元一次方程即可．
【详解】（1）解：由3x+2y=8，得：y=8-3x2=4-32x（x，y为正整数），
要使y=4-32x为正整数，则32x为整数可知：x为2的倍数，
从而x=2，代入y=4-32x=1，
所以方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1．
（2）解：设截成2米长的钢管x段，3米长的钢管y段，
依题意，得：2x+3y=20，
∴x=10-32y，
又∵x，y均为正整数，
∴x=7y=2，x=4y=4，x=1y=6，
∴共有3种截法．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
【变式11-2】（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）阅读以下材料，并利用材料知识解决问题．
材料一：如果实数a，b满足ab-1=6-2b，那么就称a和b是一组“创意数对”，用有序数对a,b表示．例如：由于1×73-1=6-2×73，所以1,73是“创意数对”．
材料二：任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积：M=A×B，对于M的所有分解，当A-B最小时，我们称此分解为M的“和值分解”，并记FM=A+B．例如：对于18=1×18=2×9=3×6，∵3-6