新高考数学一轮复习讲练教案10.4 随机变量的分布列、均值与方差（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲练教案10.4 随机变量的分布列、均值与方差（含解析），共16页。

第四节　随机变量的分布列、均值与方差
核心素养立意下的命题导向
1.结合离散型随机变量及其分布列的概念，考查常见离散型分布列的求法，凸显数据分析、数学运算的核心素养．
2．结合具体实例，考查超几何分布的特征及应用，凸显数学建模的核心素养．
3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
4．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学建模的核心素养．


[理清主干知识]
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念、性质及均值方差
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质：①pi0，i＝1,2,3，…，n；②pi＝.
(3)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(4)称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
X
0
1
P
1－p
p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P


…


如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
4．均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；
(6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(8)若X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，则E(X)＝，D(X)＝；
(9)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(随机变量的概念)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球　　　　　 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C　选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
2．(分布列的性质)设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p的值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.
3．(方差的计算)已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
a
0.2
0.1

则D(X)＝(　　)
A．1.44 B．1.2
C. D．2
解析：选B　由分布列性质知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.
所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.
4．(超几何分布)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是(　　)
A. B．　
C. D．
解析：选B　设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝＝.
二、易错点练清
1．(随机变量的概念不清)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的所有可能取值为0,1,2,3.
答案：0,1,2,3
2．(分布列的性质使用不当)已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________.
解析：由分布列的性质知＋＋＝1，∴a＝3，
∴P(X＝2)＝＝.
答案：

考点一　离散型随机变量的分布列
考法(一)　离散型随机变量分布列的性质
[例1]　离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　由×a＝1，知a＝1，得a＝.故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
[答案]　D
[方法技巧]
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．　　
考法(二)　离散型随机变量分布列的求法
[例2]　一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列．
[解]　(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
∵f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，
∴从中任取两个相加即可得到一个奇函数．
故P(A)＝＝.
(2)易知ξ的所有可能取值为1,2,3,4.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝·＝，
P(ξ＝3)＝··＝，
P(ξ＝4)＝···＝.
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P





[方法技巧]
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列．
[提醒]　求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识. 　　
考法(三)　超几何分布
[例3]　某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
[解]　(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，
则P(A)＝＝.
(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





[方法技巧]　求超几何分布的分布列的步骤

[针对训练]
1．若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　　 B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
解析：选C　由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
2．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P





考点二　离散型随机变量的均值与方差
考法(一)　离散型随机变量的均值与方差
[例1]　某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．
[解]　(1)由已知，有P(A)＝＝，
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
方差D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
[方法技巧]
求离散型随机变量均值与方差的关键及注意
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．　　
考法(二)　均值与方差在决策中的应用
[例2]　某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：5G通信设备．受中美贸易战的影响，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
[解]　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，
则X1的分布列为
X1
300
－150
P



∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P




∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
E(X1)＝E(X2)，D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
[方法技巧]
利用均值、方差进行决策的2个方略
(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．　　
[针对训练]
1．某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元．
(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调周需求量n(单位：台)，整理得下表：
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：(1)当n≥20时，
f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000；
当n≤19时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000.
∴f(n)＝(n∈N)．
(2)由(1)得f(18)＝8 800，f(19)＝9 400，f(20)＝10 000，
f(21)＝10 200，f(22)＝10 400，
∴P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，
P(X＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，
P(X＝10 400)＝0.1，
X的分布列为
X
8 800
9 400
10 000
10 200
10 400
P
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1

∴E(X)＝8 800×0.1＋9 400×0.2＋10 000×0.3＋10 200×0.3＋10 400×0.1＝9 860.
2．(2021·泰安模拟)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成频数分布条形图如图．

现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天的前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．
(1)求X的分布列；
(2)以日利润的期望值为决策依据，在n＝15与n＝16中选其一，应选用哪个？
解：(1)由题意知，根据条形图，可得A水果在每天的前8小时内的销售量分别为14,15,16,17的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1，所以X的分布列为
X
14
15
16
17
P
0.2
0.3
0.4
0.1
(2)当n＝15时，设Y为水果批发商的日利润，则Y的可能取值为760,900，可得P(Y＝760)＝0.2，P(Y＝900)＝0.8，
所以期望E(Y)＝760×0.2＋900×0.8＝872.
当n＝16时，设Z为水果批发商的日利润，则Z的可能取值为680,820,960，可得P(Z＝680)＝0.2，P(Z＝820)＝0.3，
P(Z＝960)＝0.5，所以期望E(Z)＝680×0.2＋820×0.3＋960×0.5＝862.因为E(Y)>E(Z)，所以n＝15时的日利润期望值大于n＝16时的日利润期望值，故选n＝15.

1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为(　　)
A．25　　　　　　　　 B．10
C．7 D．6
解析：选C　X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m× 3＝＝1，
∴m＝.
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D　P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
4．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)
X
0
2
a
P

p


A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　因为p＝1－－＝，
所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3，
所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，
所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.
5．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选A　摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－＝0.2.
6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
解析：选B　X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝.
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．
所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.
8．设0 ξ
0
1
2
P




则当p在(0,1)内增大时(　　)
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
解析：选D　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)
＝－p2＋p＋
＝－2＋，
∴D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，
得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
答案：　
10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
解析：由题意可知，P(ξ＝2)＝＝.
答案：
11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
日需求量x(个)
20
30
40
50
天数
5
10
10
5

(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率；
(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C，
2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C，
∴2天的日需求量均为40个的概率P＝＝.
(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，
P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，
∴Y的分布列为
Y
－20
60
140
180
P





E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，
∴此建议不该被采纳．
12．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
解：(1)由条形统计图知，该批次产品长度误差的绝对值X的分布列为
X
0
0.01
0.02
0.03
0.04

P
0.4
0.3
0.2
0.075
0.025


所以X的数学期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝0.010 25.
(2)由(1)可知标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B，则P(B)＝1－2＝＝0.64＜0.8，故不符合概率不小于0.8的要求．
设生产一件产品为标准长度的概率为x，
由题意知P(B)＝1－(1－x)2≥0.8，
又0＜x＜1，解得1－≤x＜1.
所以概率的最小值为1－.
13．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x(千元)
20
30
35
40
48
55
月支出y(千元)
4
5
6
8
8
11

(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式：回归直线的方程是：＝x＋，其中，＝＝，＝－.
解：(1)因为＝＝38，
＝＝7，
xiyi＝20×4＋30×5＋35×6＋40×8＋48×8＋55×11＝1 749，
x＝202＋302＋352＋402＋482＋552＝9 454，
＝≈0.2，
＝－＝7－0.2×38＝－0.6，
所以月支出y关于x月收入的线性回归方程是＝0.2x－0.6.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.