新高考数学一轮复习提升练习考向45 二项式定理 (含解析)

考向45  二项式定理

1．（2021·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ）

A．0 B． C． D．32

【答案】D

【分析】

根据的二项展开式系数之和为求解即可

【详解】

的二项展开式中所有项的二项式系数之和为

故选：D

2．（2021·湖南·高考真题）的展开式中常数项是______．（用数字作答）

【答案】15

【分析】

写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．

【详解】

解：由．

取，得．

展开式中常数项为．

故答案为：15．

1.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.

（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.

（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.

（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.

2．解题技巧：

（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

1. 二项式定理

(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)

2. 二项展开式的通项

Tr+1=an-rbr,它表示第r+1项

3. 二项式系数

，，…，

【知识拓展】

1.=1，=1，=+. 

2.= (0≤m≤n). 

3.二项式系数先增后减中间项最大.

当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和第项的二项式系数最大,最大值为或.

4.各二项式系数和:+++…+=2n，+++…=+++…=2n-1. 

1．（2021·云南大理·模拟预测（理））二项式的展开式中的系数是，则（    ）

A． B．1 C． D．

2．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（    ）

A．80 B．160 C．240 D．320

3．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知多项式，则 ______，______.

4．（2021·上海·模拟预测）二项展开式中的x的有理项的系数和为______

1．（2021·上海·模拟预测）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（    ）

A．4项 B．7项 C．5项 D．6项

2．（2021·辽宁·抚顺市第二中学模拟预测）的展开式中，第二项为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·吉林长春·一模（理））展开式中，的系数是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·全国·模拟预测）在的二项展开式中，的系数为（    ）

A．40 B．20 C．-40 D．-20

5．（2021·全国·模拟预测）展开式中的系数是（    ）

A．10 B． C．5 D．

6．（2021·浙江·模拟预测）的展开式中的常数项为32，则实数a的值为________；展开式中含项的系数为________.

7．（2021·全国·模拟预测）若二项式展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是___________.

8．（2021·上海·模拟预测）在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示）

9．（2021·全国·模拟预测（理））已知二项式的展开式中，常数项为，则实数___________.

10．（2021·全国·模拟预测（理））已知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，，则非零常数的值为________．

11．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（理））若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．

12．（2021·全国·模拟预测）已知的展开式的二项式系数和为128，若，则________．

1．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

4．（2020·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5 B．10

C．15 D．20

5．（2019·全国·高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20 D．24

6．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.

7．（2020·浙江·高考真题）设，则________；________．

8．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．

9．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．

10．（2019·江苏·高考真题）设.已知.

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值.

1．【答案】B

【分析】

根据多项式乘法法则及排列组合知识即可求解.

【详解】

解：可以看作8个因式的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中项需要从8个因式中取7个和1个相乘得到，

所以由排列组合的知识有展开式中的系数，解得，

故选：B.

2．【答案】D

【分析】

令解得，再求得展开式的通项公式求解.

【详解】

令得，解得，

则展开式的通项为，

则展开式中常数项为．

故选：D

3．【答案】       

【分析】

设，利用赋值法可得出，求得，利用赋值法可得出的值.

【详解】

设，则，

因为，

所以，，

因此，.

故答案为：；.

4．【答案】255

【分析】

易得展开式的通项为，再由为有理数求解.

【详解】

展开式的通项为，

若为有理数，则，

所以x的有理项的系数和为，

故答案为：255

1．【答案】D

【分析】

根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数即可解出．

【详解】

二项式的展开式中，通项公式为，

，时满足题意，共6项．

故选：D.

2．【答案】C

【分析】

先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.

【详解】

,

第二项是，即=

故选：C

3．【答案】B

【分析】

写出展开式的通项公式，令，即得解

【详解】

展开式的通项为，

令，

故，

故选：B.

4．【答案】A

【分析】

由二项式得到展开式通项，进而确定的系数.

【详解】

的展开式的通项，

令，解得，故的系数为，

故选：A.

5．【答案】B

【分析】

前一个括号内有与两项，，，所以分两种情况讨论得解.

【详解】

前一个括号内有与两项，

，

展开式第项，

，展开式系数为，

，

时，不能出现

∴的系数为．

故选：B．

6．【答案】       

【分析】

先求出的展开式的通项公式为，由，可得，从而可由题意可得，可求出a的值，含项的系数由展开式的常数项加上二次项系数

【详解】

因为的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的常数项为，解得.

所以的展开式中含项的系数为.

故答案为：，

7．【答案】32

【分析】

利用赋值法求得，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.

【详解】

令得，

二项式展开式的通项公式为，

由解得，所以展开式中的常数项为.

故答案为：

8．【答案】

【分析】

根据二项展开式的通项公式以及多项式的乘法原理即可解出．

【详解】

因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为．

故答案为：．

9．【答案】2

【分析】

写出二项式的展开式公式，令，结合题意即可求出参数a

【详解】

二项式的展开式通项公式为

令，解得，

因为常数项为14，

所以，解得，

故答案为：2

10．【答案】

【分析】

根据题设二项式分别写出的系数、，由已知等量关系列方程求参数的值即可.

【详解】

的展开式中含的项为：，

∴，

的展开式中含的项为：，

∴，

由，即，解得．

故答案为：

11．【答案】60

【分析】

根据二项式系数之和，可求得n值，求得展开式的通项公式，令，求得k值，计算即可得答案.

【详解】

根据二项式系数之和为64，可得，解得，

所以展开式的通项公式为，

令，可得，

所以展开式中的常数项为.

故答案为：60

12．【答案】

【分析】

根据二项式系数和，可求得n值，设，则，所求即为，根据展开式的通项公式，即可求得，即可得答案.

【详解】

由的展开式的二项式系数和为128，则，∴．

设，则，则，

∴，，

∴．

故答案为：

1．【答案】A

【分析】

本题可通过二项式系数的定义得出结果.

【详解】

第项的二项式系数为，

故选：A.

2．【答案】A

【分析】

写出x2项，进一步即可解出.

【详解】

，所以.

故选：A.

3．【答案】C

【分析】

首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】

展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【点睛】

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

4．【答案】C

【分析】

求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.

【详解】

展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

5．【答案】A

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】

由题意得x3的系数为，故选A．

【点睛】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

6．【答案】;    .   

【分析】

根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.

【详解】

，

，

所以，

，

所以.

故答案为：.

7．【答案】       

【分析】

利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【详解】

的通项为，

令，则，故；

.

故答案为：；.

【点晴】

本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

8．【答案】160

【分析】

求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.

【详解】

的展开式的通项为，

令，解得，

所以的系数是.

故答案为：160.

9．【答案】10

【分析】

写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．

【详解】

因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

10．【答案】（1）；

（2）-32.

【分析】

(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；

(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；

解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.

【详解】

（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

【点睛】

本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.