数学九年级上册1 菱形的性质与判定优秀同步训练题

2023年北师大版数学九年级上册

《菱形的性质与判定》同步练习

一              、选择题

1如图，菱形ABCD中，∠D=150°，则∠1=(　　)

A．30°       B．25°       C．20°       D．15°

2.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（    ）

   A．4：1                        B．5：1                       C．6：1                        D．7：1

3.平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，-2)，则四边形ABCD是(　　)

A.矩形　　B.菱形　　C.正方形　　D.梯形

4.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为(　　)

A.28°      B.52°      C.62°         D.72°

5.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)

A.4　　B.2.4　　C.4.8　　D.5

6.如图，丝带重叠的部分一定是（　　）

A.正方形                      B.矩形                    C.菱形      D.都有可能

7.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（  ）

①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A.①③                                 B.②③          C.③④                                D.①②③

8.下列说法中正确的是（  ）

  A.四边相等的四边形是菱形

  B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形

  C.对角线互相垂直的四边形是菱形

  D.对角线互相平分的四边形是菱形

9.在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.

则下列三种说法：

①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形

③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形

其中正确的有（　  　）

A．3个     B．2个            C．1个     D．0个

10.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB为半径的弧交AD于点F，连接EF.若BF＝6，AB＝5，则四边形ABEF面积是(       )

A.48         B.36         C.24         D.12

二              、填空题

11.在图中所示的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则该菱形的面积为________.

12.如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为________.

13.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=　   　度.

14.如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，已知AB＝5，OB＝3，则菱形ABCD的面积是            ．

15.已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________．

16.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.

三              、解答题

17.如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF。

求证：△ADE≌△CDF.

18.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1)求∠ABD的度数；

(2)求线段BE的长．

19.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD.

(1)求证：△AEB≌△CFD；

(2)若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数.

20.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

21.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

（1）求证：AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.

22.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F.

求证：四边形AFCE是菱形.

23.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.

得到△ADE，连接BD，CE交于点F.

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)求∠ACE的度数；

(3)求证：四边形ABFE是菱形.

答案

1.D.

2.B

3.D.

4.C

5.C

6.C.

7.A

8.A．

9.B.

10.C

11.答案为：12；

12.答案为：5;

13.答案为：25.

14.答案为：24．

15.答案为：96 cm2

16.答案为：菱形，4.

17.证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD.

∵E、F分别是CD、AD的中点，

∴DE＝DC，DF＝AD，

∴DE＝DF.

在△ADE和△CDF中，

DE＝DF，∠D＝∠D，DA＝DC

∴△ADE≌△CDF(SAS).

18.解：(1)在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ABD＝60°；

(2)由(1)可知BD＝AB＝4，

又∵O为BD的中点，

∴OB＝2，

又∵OE⊥AB，及∠ABD＝60°，

∴∠BOE＝30°，

∴BE＝1．

19.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD.

∵点E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE＝AD，FC＝BC.

∴AE＝CF.

在△AEB与△CFD中，

AE＝CF，∠A＝∠C，AE＝CD，

∴△AEB≌△CFD(SAS).

(2)解：∵四边形EBFD是菱形，

∴BE＝DE.

∴∠EBD＝∠EDB.

∵AE＝DE，

∴BE＝AE.

∴∠A＝∠ABE.

∵∠EBD＋∠EDB＋∠A＋∠ABE＝180°，

∴∠ABD＝∠ABE＋∠EBD＝×180°＝90°.

20.（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，

∵AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）.

（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=0.5AE）时，四边形ABEC是菱形

理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，

又∵点D为BC中点，∴BD=CD，

∴四边形ABEC为平行四边形，

∵AB=AC，

∴四边形ABEC为菱形.

21.证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，

∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴∠DAF=∠FDA.

∴AF=DF.

∴平行四边形AEDF为菱形.

22.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，AE=CE，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形.

23.证明：(1)∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，

∴∠BAC＝∠DAE＝40°，

∴∠BAD＝∠CAE＝100°，

又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE，

在△ABD与△ACE中

∴△ABD≌△ACE(SAS).

(2)解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，

∴∠ACE＝40°；

(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.

∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，

∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，

∴∠BAE＝∠BFE，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵AB＝AE，

∴平行四边形ABFE是菱形.