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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题08奇偶性、对称性与周期性（Word版附解析）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题08奇偶性、对称性与周期性（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
专题08奇偶性、对称性与周期性
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：判断函数的奇偶性
题型二：函数奇偶性的应用
题型三：利用函数性质求解析式
题型四：函数的周期性及应用
题型五：函数的对称性
题型六：单调性与奇偶性综合应用
题型七：周期性与奇偶性综合应用
题型八：对称性与周期性综合应用
题型九：利用函数的性质解不等式
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
【考点预测】
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【常用结论】
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【方法技巧】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
4.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
5.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
6.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
7.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
8.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
9.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
10.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
二、【题型归类】
【题型一】判断函数的奇偶性
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)．
【解析】(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x
＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
【典例2】若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
【解析】∵f(－x)＝＝，
∴f(－x)＋f(x)
＝
＝.
由f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立可得k2＝1，∴k＝±1.故填±1.
【典例3】已知函数f(x)＝ 判断函数的奇偶性．
【解析】当x＜0时，f(x)＝x2＋x，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，f(x)＝－x2＋x，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
【题型二】函数奇偶性的应用
【典例1】函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
【解析】依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.
【典例2】已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
【解析】方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
【典例3】已知函数f(x)＝，则函数f(x)( )
A．既是奇函数也是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数
D．是偶函数，但不是奇函数
【解析】由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，
解得－3≤x≤3且x≠0，
可得函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}，
关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝，
又f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．故选C.
【题型三】利用函数性质求解析式
【典例1】已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
【解析】(1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝.用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期．
(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.
当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.
又f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x)＝＝.
所以解析式为f(x)＝
【典例2】设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)．当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
【解析】(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故所求为f(x)＝
【典例3】已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【解析】当x＜0时，－x＞0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
【题型四】函数的周期性及应用
【典例1】已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
【解析】∵f(x)在R上是奇函数，
且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.故选C.
【典例2】设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0 ①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×－2＝.
故选D.
【典例3】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
【解析】因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
【题型五】函数的对称性
【典例1】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
故选ACD.
【典例2】已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
【解析】∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
【典例3】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝________.
【解析】因为f(x)关于点(0,1)对称，
所以f(x)＋f(－x)＝2，
故f(1)＋f(－1)＝2，
即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，
解得a＝0，
所以f(x)＝x3＋bx＋1，
又因为f′(x)＝3x2＋b，
所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，
所以a－b＝－1.
【题型六】单调性与奇偶性综合应用
【典例1】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【解析】易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
故选C.
【典例2】已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
【解析】因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，
且f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.
由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，
由f(ln x)＜f(1)，
所以ln x＜1或ln x＞3，
解得0＜x＜e或x＞e3.
【典例3】设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________________．
【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．
又当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，
∴ 解得－1≤m＜.
故填.
【题型七】周期性与奇偶性综合应用
【典例1】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝ 则f＋f＝________.
【解析】由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋＝.故填.
【典例2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
【解析】f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，∴T＝8，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∵f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)≥0，
∴f(x)在[－2，0]上也是增函数，且f(x)≤0，
又x∈[2，4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．
同理f(x)在[4，6]上为减函数且f(x)≤0，
从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．
∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0.
∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
【典例3】函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
【解析】∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
即函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
【题型八】对称性与周期性综合应用
【典例1】(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在[－6，－3]上单调递减
C.f(x)关于x＝3对称
D.f(100)＝9
【解析】f(x)的图象关于x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f(x)关于x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.
故选ACD.
【典例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝( )
A.－3 B.－2 C.1 D.0
【解析】∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(－x＋4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴函数的周期为8，
∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
故选C.
【典例3】(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
【解析】∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).
∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).
∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵f(－x－1)＝f(x－1)，
∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，
即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
故选CD.
【题型九】利用函数的性质解不等式
【典例1】已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
【解析】根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)
【典例2】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
【解析】由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得
【典例3】定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log12(1－x)，则f(x)在区间内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
【解析】当x∈时，由f(x)＝log12(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
三、【培优训练】
【训练一】(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有( )
A．f(－1.1)＝0.9
B．函数f(x)为奇函数
C．f(x＋1)＝f(x)＋1
D．函数f(x)的值域为[0,1)
【解析】对于A，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]
＝－1.1＋2＝0.9，故A正确．
对于B，取x＝－1.1，则f(－1.1)＝0.9，
而f(1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1，
故f(－1.1)≠－f(1.1)，
所以函数f(x)不为奇函数，故B错误．
对于C，f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝f(x)，故C错误．
对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，
当0≤x≤1时，则
当x＝0时，f(0)＝0－[0]＝0，
当0
故当0≤x≤1时，则有0≤f(x)<1，
故函数f(x)的值域为[0,1)，故D正确．
故选AD.
【训练二】已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
【解析】因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0.
【训练三】已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，求x的取值范围．
【解析】易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，则mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，m∈[－2,2]，此时，只需即可，解得－2
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.
【训练五】设常数a≥0，函数f(x)＝.根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由．
【解析】∵f(x)＝且a≥0，
∴①当a＝0时，f(x)＝1，x∈R，
∴对任意的x∈R都有f(x)＝f(－x)，
∴y＝f(x)为偶函数；
②当a＝1时，f(x)＝，x≠0，
f(－x)＝＝，
∴对任意的x≠0且x∈R都有f(x)＝－f(－x)，
∴y＝f(x)为奇函数；
③当a≠0且a≠1时，定义域为{x|x≠log2a，x∈R}，
∴定义域不关于原点对称，∴y＝f(x)为非奇非偶函数．
【训练六】设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
【解析】(1)因为函数y＝x是增函数，
所以函数y＝x不具有性质P，
当A＝1，T＝2π时，
函数y＝cos x对于任意x∈R，
f(x＋T)＝Af(x)成立，
所以y＝cos x具有性质P.
(2)设x∈(－π，0]，
则x＋π∈(0，π]，
由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
得f(－π)＝f(π)＝0，
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x，
所以当x＝－时，
f(x)在[－π，0]上有最大值f ＝.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x
【解析】函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．故选B.
2. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－ C. D．3
【解析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝
－f(2)＝－(22－1)＝－3.故选A.
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝
log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈，且当x∈时，
f(x)＝log2(－3x＋1)，
∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
故选C.
4. 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解析】由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，
①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
可知②④正确，故选D.
5. 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
【解析】f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0
6. 已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，
∴f(0)
A．f(3)
A． B．
C．[－1，1] D．
【解析】因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，
因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得
综上，所求不等式的解集为.故选B．
【多选题】
9. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
【解析】选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.
10. 若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝ B．g(x)＝
C．f(－2)
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.
联立①②解得所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，所以g(－1)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝3x－
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
【解析】根据题意，对于任意的不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意； 对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意； 对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选BD．
12. 函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
【解析】根据题意f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)①，
同理，f(x＋2)为奇函数，则f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，
所以f[(x＋1)＋1]＝－f[2－(x＋1)]＝－f(1－x)，由①式知f(x＋2)＝f(x＋1)，所以T＝1，
所以f(x)是周期函数，有一个周期是2，故B选项正确，因为f(x＋1)＝－f(1－x)＝－f(－x)，
所以f(x)关于(0，0)对称，故A选项正确，由T＝2及f(x)关于(1，0)对称知f(x)关于(3，0)对称，
所以f(x＋3)关于(0，0)对称，故C选项正确．故为ABC．
【填空题】
13. 已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
14. 若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．
【解析】由f(x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4时，f(x)max＝.
答案：2
15. 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
【解析】因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
16. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．
【解析】因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.
答案：6
【解答题】
17. 设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
【解析】(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
18. 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
【解析】(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
19. 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1
故实数a的取值范围是(1,3]．
20. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
【解析】(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
21. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f ＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
【解析】(1)令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)>0，
∴f(x1)
∵f ＝1，
∴f ＝f ＝f ＋f ＝2，
∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)
解得x<－，故x∈.
22. 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．
【解析】(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知f(x)是偶函数，
所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)
所以0<|x－1|<16，
解得－15
专题08奇偶性、对称性与周期性
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：判断函数的奇偶性
题型二：函数奇偶性的应用
题型三：利用函数性质求解析式
题型四：函数的周期性及应用
题型五：函数的对称性
题型六：单调性与奇偶性综合应用
题型七：周期性与奇偶性综合应用
题型八：对称性与周期性综合应用
题型九：利用函数的性质解不等式
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
【考点预测】
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【常用结论】
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【方法技巧】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
4.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
5.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
6.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
7.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
8.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1
9.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
10.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
二、【题型归类】
【题型一】判断函数的奇偶性
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)．
【解析】(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x
＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
【典例2】若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
【解析】∵f(－x)＝＝，
∴f(－x)＋f(x)
＝
＝.
由f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立可得k2＝1，∴k＝±1.故填±1.
【典例3】已知函数f(x)＝ 判断函数的奇偶性．
【解析】当x＜0时，f(x)＝x2＋x，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，f(x)＝－x2＋x，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
【题型二】函数奇偶性的应用
【典例1】函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
【解析】依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.
【典例2】已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
【解析】方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
【典例3】已知函数f(x)＝，则函数f(x)( )
A．既是奇函数也是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数
D．是偶函数，但不是奇函数
【解析】由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，
解得－3≤x≤3且x≠0，
可得函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}，
关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝，
又f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．故选C.
【题型三】利用函数性质求解析式
【典例1】已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
【解析】(1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝.用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期．
(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.
当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.
又f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x)＝＝.
所以解析式为f(x)＝
【典例2】设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)．当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
【解析】(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故所求为f(x)＝
【典例3】已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【解析】当x＜0时，－x＞0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
【题型四】函数的周期性及应用
【典例1】已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
【解析】∵f(x)在R上是奇函数，
且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.故选C.
【典例2】设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0 ①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×－2＝.
故选D.
【典例3】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
【解析】因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
【题型五】函数的对称性
【典例1】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
故选ACD.
【典例2】已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
【解析】∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
【典例3】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝________.
【解析】因为f(x)关于点(0,1)对称，
所以f(x)＋f(－x)＝2，
故f(1)＋f(－1)＝2，
即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，
解得a＝0，
所以f(x)＝x3＋bx＋1，
又因为f′(x)＝3x2＋b，
所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，
所以a－b＝－1.
【题型六】单调性与奇偶性综合应用
【典例1】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【解析】易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
故选C.
【典例2】已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
【解析】因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，
且f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.
由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，
由f(ln x)＜f(1)，
所以ln x＜1或ln x＞3，
解得0＜x＜e或x＞e3.
【典例3】设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________________．
【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．
又当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，
∴ 解得－1≤m＜.
故填.
【题型七】周期性与奇偶性综合应用
【典例1】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝ 则f＋f＝________.
【解析】由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋＝.故填.
【典例2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
【解析】f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，∴T＝8，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∵f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)≥0，
∴f(x)在[－2，0]上也是增函数，且f(x)≤0，
又x∈[2，4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．
同理f(x)在[4，6]上为减函数且f(x)≤0，
从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．
∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0.
∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
【典例3】函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
【解析】∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
即函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
【题型八】对称性与周期性综合应用
【典例1】(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在[－6，－3]上单调递减
C.f(x)关于x＝3对称
D.f(100)＝9
【解析】f(x)的图象关于x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f(x)关于x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.
故选ACD.
【典例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝( )
A.－3 B.－2 C.1 D.0
【解析】∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(－x＋4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴函数的周期为8，
∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
故选C.
【典例3】(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
【解析】∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).
∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).
∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵f(－x－1)＝f(x－1)，
∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，
即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
故选CD.
【题型九】利用函数的性质解不等式
【典例1】已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
【解析】根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)
【典例2】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
【解析】由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得
【典例3】定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log12(1－x)，则f(x)在区间内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
【解析】当x∈时，由f(x)＝log12(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
三、【培优训练】
【训练一】(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有( )
A．f(－1.1)＝0.9
B．函数f(x)为奇函数
C．f(x＋1)＝f(x)＋1
D．函数f(x)的值域为[0,1)
【解析】对于A，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]
＝－1.1＋2＝0.9，故A正确．
对于B，取x＝－1.1，则f(－1.1)＝0.9，
而f(1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1，
故f(－1.1)≠－f(1.1)，
所以函数f(x)不为奇函数，故B错误．
对于C，f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝f(x)，故C错误．
对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，
当0≤x≤1时，则
当x＝0时，f(0)＝0－[0]＝0，
当0
故当0≤x≤1时，则有0≤f(x)<1，
故函数f(x)的值域为[0,1)，故D正确．
故选AD.
【训练二】已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
【解析】因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0.
【训练三】已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，求x的取值范围．
【解析】易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，则mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，m∈[－2,2]，此时，只需即可，解得－2
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.
【训练五】设常数a≥0，函数f(x)＝.根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由．
【解析】∵f(x)＝且a≥0，
∴①当a＝0时，f(x)＝1，x∈R，
∴对任意的x∈R都有f(x)＝f(－x)，
∴y＝f(x)为偶函数；
②当a＝1时，f(x)＝，x≠0，
f(－x)＝＝，
∴对任意的x≠0且x∈R都有f(x)＝－f(－x)，
∴y＝f(x)为奇函数；
③当a≠0且a≠1时，定义域为{x|x≠log2a，x∈R}，
∴定义域不关于原点对称，∴y＝f(x)为非奇非偶函数．
【训练六】设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
【解析】(1)因为函数y＝x是增函数，
所以函数y＝x不具有性质P，
当A＝1，T＝2π时，
函数y＝cos x对于任意x∈R，
f(x＋T)＝Af(x)成立，
所以y＝cos x具有性质P.
(2)设x∈(－π，0]，
则x＋π∈(0，π]，
由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
得f(－π)＝f(π)＝0，
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x，
所以当x＝－时，
f(x)在[－π，0]上有最大值f ＝.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x
【解析】函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．故选B.
2. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－ C. D．3
【解析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝
－f(2)＝－(22－1)＝－3.故选A.
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝
log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈，且当x∈时，
f(x)＝log2(－3x＋1)，
∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
故选C.
4. 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解析】由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，
①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
可知②④正确，故选D.
5. 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
【解析】f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0
6. 已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，
∴f(0)
A．f(3)
A． B．
C．[－1，1] D．
【解析】因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，
因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得
综上，所求不等式的解集为.故选B．
【多选题】
9. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
【解析】选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.
10. 若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝ B．g(x)＝
C．f(－2)
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.
联立①②解得所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，所以g(－1)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝3x－
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
【解析】根据题意，对于任意的不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意； 对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意； 对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选BD．
12. 函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
【解析】根据题意f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)①，
同理，f(x＋2)为奇函数，则f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，
所以f[(x＋1)＋1]＝－f[2－(x＋1)]＝－f(1－x)，由①式知f(x＋2)＝f(x＋1)，所以T＝1，
所以f(x)是周期函数，有一个周期是2，故B选项正确，因为f(x＋1)＝－f(1－x)＝－f(－x)，
所以f(x)关于(0，0)对称，故A选项正确，由T＝2及f(x)关于(1，0)对称知f(x)关于(3，0)对称，
所以f(x＋3)关于(0，0)对称，故C选项正确．故为ABC．
【填空题】
13. 已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
14. 若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．
【解析】由f(x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4时，f(x)max＝.
答案：2
15. 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
【解析】因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
16. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．
【解析】因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.
答案：6
【解答题】
17. 设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
【解析】(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
18. 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
【解析】(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
19. 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1
故实数a的取值范围是(1,3]．
20. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
【解析】(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
21. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f ＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
【解析】(1)令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)>0，
∴f(x1)
∵f ＝1，
∴f ＝f ＝f ＋f ＝2，
∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)
解得x<－，故x∈.
22. 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．
【解析】(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知f(x)是偶函数，
所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)
所以0<|x－1|<16，
解得－15
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