江苏省南京市2024届高三上学期9月学情调研数学试题

南京市2024届高三年级学情调研

数  学2023.09

注意事项：

1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．

3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．已知集合，，则

A．  B．  C．  D．

2．若，则z的虚部为

A．2     B．     C．     D．

3．的展开式中常数项为

A．     B．     C．4     D．24

4．在中，点D为边AB的中点．记，，

A．    B．    C．    D．

5．设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为

A．     B．     C．      D．

6．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为

A．三角形    B．四边形    C．五边形    D．六边形

7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，且时室内空气中颗粒物的浓度是时的倍，则v的值约为

（参考数据：，）

A．1.3862    B．1.7917    C．2.1972    D．3.5834

8．若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是

A．    B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若，且，则

A．    B．    C．   D．

10．有一组样本数据，，，，，已知，，则该组数据的

A．平均数为2   B．中位数为2    C．方差为2   D．标准差为2

11．在中，，，D是AB的中点．将沿CD翻折，得到三棱锥A＇-BCD，则

A．

B．当时，三棱锥A＇-BCD的体积为

C．当时，二面角A＇-CD-B的大小为

D．当时，三棱锥A＇-BCD的外接球的表面积为

12．函数及其导函数的定义域均为R，且，，则

A．为偶函数       B．的图象关于直线对称

C．         D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则         ．

14．某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为         ．

15．记为数列的前n项和，已知则         ．

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则C的离心率为         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知公比大于1的等比数列满足：，．

（1）求的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列．

18．（12分）

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求A；

（2）若，，求的面积．

19．（12分）

某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．

（第19题图）

（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；

（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

附：，其中．

20．（12分）

如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，，，

（第20题图）

点G是线段BF的中点．

（1）证明：平面DAF；

（2）求直线EF与平面DAF所成角的正弦值．

21．（12分）

已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．

（1）求C的方程；

（2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．

22．（12分）

已知函数，其中．

（1）若，证明：；

（2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．

南京市2024届高三年级学情调研

数学参考答案       2023.09

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．  14．0.56 15． 16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

解：（1）

方法1：因为是等比数列，所以，

又，所以或.

又，所以，所以，.

因此． 5分

方法2：由基本量得出或.

又，所以.

因此．

（2）由（1）得，所以，

两式作差可得，．

所以，即（）．

所以数列是公差为的等差数列．

18．（12分）

解：

（1）由正弦定理，得．

因为，，所以，即．

因为，所以．

（2）解法1：由正弦定理，所以，

因此，．

所以．

所以，的面积为．

解法2：因为，，

所以．

化简得，

因为，所以，

故．

因此，进而可解得．

所以的面积为．

分

19．（12分）

解：

（1）由直方图可得A学科良好的人数为，

所以2×2列联表如下：

假设：A学科良好与B学科良好无关，

，

所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．

（2）AB学科均良好的概率，

X的可能取值为0，1，2，3，且．

所以，，

，．

所以X的分布列为

因为，所以．

20．（12分）

（1）证法一：连接OE，OG．

在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以．

又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．

在中，点O，G分别是AB和BF的中点，所以．

又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．

又，OE，平面OEG，所以平面平面DAF．

又平面OEG，所以平面DAF．

证法二：取AF的中点M，连接MD，MG．

因为点M，G分别是FA和FB的中点，所以．

在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中，．

所以，因此四边形DEGM是平行四边形．

因此．

又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．

证法三：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，．

因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．

又，所以，因此．

因为点G是线段BF的中点，所以，

因此．

因为平面ABF，平面ABF，所以．

又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，

因此是平面DAF的一个法向量．

因为，

又平面DAF，所以平面DAF．

（2）解：法一：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，．

因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．

又，所以，因此．

因此，．

因为平面ABF，平面ABF，所以．

又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，

因此是平面DAF的一个法向量．

设EF与平面DAF所成角为，

则，

所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．

法二：由（1）得平面DAF，

所以点E到平面DAF的距离等于点G到平面DAF的距离．

因为平面ABF，平面ABF，所以．

因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．

又，AF，平面DAF，所以平面DAF．

所以点E到平面DAF的距离．

连结OE，OF，易得，所以．

设EF与平面DAF所成角为，则，

所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．

法三：过F作AD的平行线交上底面于点H，连结DH，

平面ADF即为平面AFHD．

过E作，K为垂足，

又因为，，则平面AFHD，

则为EF与平面ADF所成的角．

得，．

设EF与平面DAF所成角为，则，

所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．

21．（12分）

解：

（1）设椭圆C的焦距为2c，由题得．

当A为短轴顶点时，的周长．

又，所以，解得，．

所以，椭圆C的标准方程为．

（2）法一：易得，设直线AB：．

联立，消去y并整理得，

设，，则，，

则．

于是线段AB的垂直平分线的方程为．

令，得．

处理法1：因为，所以．

因为，所以Q，O，M，F四点共圆，

由相交弦定理可得．

因为，且函数在上递增，

所以．

处理法2：易得，所以，所以．

处理法3：

．

令，则，

因为，所以，

因此，

因此．

法二：易得，设直线AB：．

联立，消去x并整理得，

设，，则，，

则．

于是线段AB的垂直平分线的方程为．

令，得．

处理法1：因为，所以．

因为，所以Q，O，M，F四点共圆，

由相交弦定理可得．

因为，且函数在上递增，

所以．

处理法2：易得，所以，所以．

处理法3：

．

令，则．

处理法4：．

令，则．

22．（12分）

（1）证明：若，则，，

令，得．

在上，，单调递减；

在上，，单调递增；

故．

（2）解：，．

当时，易得，所以由（1）可得，

若，则，

所以在上单调递增，

这与为函数的极大值点相矛盾．

若，，

因为对恒成立，

所以在上单调递增．

又，，

因为，所以，

因此存在唯一，使得．

所以，在上，，单调递减．

又，所以

在上，，故单调递增；

在上，，故单调递减．

所以为函数的极大值点，满足题意．

综上，a的取值范围为．