2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高一下学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高一下学期期中数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高一下学期期中数学（理）试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式求解.【详解】.故选：A2．已知复数为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数b的值为（    ）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】C【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又复数z为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0，即可求出实数b的值.【详解】复数，又复数z为纯虚数，则有，解得.故选：C.3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为120°，则的大小为（    ）A． B． C．2N D．3N【答案】B【分析】由三力平衡，知，将其两边平方，并结合平面向量的数量积进行运算，得解．【详解】由题意知，所以，所以故选：B．4．《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可.【详解】由题意可知：，，所以.故选：A.5．若，，的面积为，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由条件结合三角形面积公式求，再由余弦定理求.【详解】由三角形面积公式可得的面积，又，，所以，由余弦定理可得，又，，，所以，所以，故选：C.6．在平行四边形ABCD中，，，，则（    ）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】利用平面向量基本定理得到，，利用向量数量积公式求出.【详解】因为，所以为中点，由题意得，，所以，设，则，代入上式中得，，解得.故选：D7．已知，则=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用诱导公式化简已知式和求值式，求值式变形有后用二倍角公式计算．【详解】由题意，所以，所以．故选：B．【点睛】本题考查诱导公式与二倍角公式求值．解题关键是对“单角”和“复角”的相对性的理解与应用．本题中用诱导公式化简和用二倍角公式求值，都是把作为一个“单角”进行变形参与运算，而不是作为两个角的和．8．0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由诱导公式求解．【详解】在中，由正弦定理可得，∴， .故选：B.．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查诱导公式．本题考查关键是利用正弦定理把三角函数值与黄金分割比联系起来，得． 二、多选题9．已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（    ）A．复数的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限C．若，则 D．若复数z满足，则【答案】ABD【分析】根据复数运算求，由此确定其虚部，判断A，根据复数的几何意义确定其对应点，判断B，举反例，判断C，根据复数的运算，结合条件判断D.【详解】对于A，因为，故复数的虚部为，A正确；对于B，复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限，B正确；对于C，取，则，又，故，C错误；对于D，设，则，因为，所以，故，D正确；故选：ABD.10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．，则为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．【答案】ACD【分析】利用正弦定理角化边推理判断A；利用正弦定理边化角推理判断B；利用和角的正切推理得并判断C；利用正余弦定理、二倍角的余弦推理判断D作答.【详解】对于A，在中，由及正弦定理，得，所以，A正确；对于B，由及正弦定理，得，于是，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；对于C，在中，由，得，因此中有且只有一个为负数，所以中有一个为钝角，即为钝角三角形，C正确；对于D，在中，由余弦定理得，由正弦定理得有，于是，整理得，D正确.故选：ACD11．下列四个等式中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】对于A，利用余弦二倍角公式求解，对于B，通分后利用两角差的正弦公式化简，对于C，将化简后，代入计算即可，对于D，利用两角和的正切公式化简计算.【详解】对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：BCD12．已知为所在平面内一点，则下列正确的是（    ）A．若，则点在的中位线上B．若，则为的重心C．若，则为锐角三角形D．若，则与的面积比为【答案】ABD【分析】设中点为，中点为，由可得，可知A正确；设中点为，由得，对应重心的性质可知B正确；由知为锐角，但无法确定，知C错误；根据平面向量基本定理可知，将面积比转化为，知D正确.【详解】对于A，设中点为，中点为，，，，即，三点共线，又为的中位线，点在的中位线上，A正确；对于B，设中点为，由得：，又，，在中线上，且，为的重心，B正确；对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在几何中的应用问题，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的应用等知识；本题解题关键是能够根据平面向量线性运算将已知等式进行转化，确定点的具体位置及其满足的性质. 三、填空题13．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是      ．【答案】【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案.【详解】解：由题意可知，，则对应的复数是.故答案为：.14．如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则      ．  【答案】7【分析】建立合适的直角坐标系，写出相关向量，根据题意得到方程组即可得到答案.【详解】建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，可得，同理可得，，将方程组中两式相加,可得.故答案为：7.    15．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则      ．  【答案】/1.75【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．【详解】如图，连接，    ∵为的中点，为对角线的中点，，，∴四边形为平行四边形，，，，，故答案为： 四、双空题16．在中，已知，．锐角，满足．①当，      ；②当取最小值时，      ．【答案】     /     【分析】由条件可知，，展开后利用三角恒等变形，转化为的二次函数，即可求解；第二问可知，，展开后利用三角恒等变形，得到，代入后，利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】由题意可知，，则，，，，，，则,，时，，则，，两边同时除以，并且，得，化简为，得或（舍），所以；，两边同时除以，得，，，，,化简为，则，，设，则，则，当时，即时等号成立，此时，，所以.故答案为：； 五、解答题17．已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可；（2）利用同角三角函数的基本关系与余弦的和差角公式求解即可【详解】（1）因为，为锐角，则，，，则，，而．（2）由，得：，，则．18．已知为虚数单位.（1）计算：；（2）若，求复数.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据复数的运算性质计算即可；（2）设，求出，的值，求出即可．【详解】（1）.（2）设，则由，得，则解得或则或.19．已知是同一平面内的三个向量，其中．(1)若，且，求的坐标；(2)若，且与垂直，求与的夹角.【答案】(1)或.(2). 【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.【详解】（1）解：设，因为，所以．①又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．（2）解：由，得，又，解得，所以，所以与的夹角.20．如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．（1）若，求实数的值；（2）若，求边的长．【答案】（1）（2）6【分析】(1)先由，确定向量与，与之间的关系，用与表示出，由对应系数相等，即可求出结果；（2）用向量，表示出向量和，再由向量数量积运算求解即可.【详解】解：（1）因为，所以，所以，所以，（2）因为，，所以，设，因为，所以，又因为，所以，化简得，解得(负值舍去)，所以的长为6．【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求解，难度不大.21．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．(1)若，求角C；(2)设点D满足，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量数量积的定义可得，结合余弦边角关系有，进而确定a，b，c的关系，应用余弦定理求角C；（2）由（1）知是顶角为的等腰三角形，且，根据且，应用向量数量积的运算律求得，即可得.【详解】（1）由，即，故，所以，整理得，由余弦边角关系得，则，所以，即，则，由，，故.  （2）由（1）易知：是顶角为的等腰三角形，且，且，则，所以，而，故.22．在平面凸四边形中，，，．(1)当四边形内接于圆O时，求四边形的面积；(2)当四边形的面积最大时，求对角线的长．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用余弦定理，结合求出角，再利用三角形面积公式求解作答.（2）结合余弦定理和面积公式得，进而得，再由三角函数性质得当时，有最大值，再借助余弦定理求解作答.【详解】（1）连接，如图，  由余弦定理得：，及，于是，又四边形内接于圆，即，因此，化简可得，又，解得，于是，所以四边形的面积.（2）设四边形的面积为，则，又，于是，即，平方相加得，即，又，则当时，有最大值，即有最大值，此时，解得，又，于是，在中，，即，所以对角线的长为.【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.