资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：七年级数学上册尖子生选拔卷（人教版）
成套系列资料，整套一键下载
第四章 几何图形初步（选拔卷）-七年级数学上册尖子生选拔卷（人教版）
展开
这是一份第四章 几何图形初步（选拔卷）-七年级数学上册尖子生选拔卷（人教版），文件包含第四章几何图形初步选拔卷-七年级数学上册尖子生选拔卷人教版原卷版doc、第四章几何图形初步选拔卷-七年级数学上册尖子生选拔卷人教版解析版doc、第四章几何图形初步选拔卷-七年级数学上册尖子生选拔卷人教版答题纸docx、第四章几何图形初步选拔卷-七年级数学上册尖子生选拔卷人教版考试版doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
第四章 几何图形初步（人教版）
选拔卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·北京二中七年级期末）有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中A，B，C，D中的（ ）位置拼接正方形．
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．
【详解】解：如图所示：
根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形．故选：A．
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．
2．（2021·浙江省义乌市望道中学七年级月考）如图，已知的顶点在直线上，平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用角平分线的定义算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE为直角，可求出∠COF的度数，再求出∠AOF的度数，最后可求得∠BOE的度数．
【详解】解：∵平分∴∠AOF=∠FOE
∵平分∴∠AOF=2∠COF∴∠FOE=2∠COF
又∠COE是直角∴∴∠AOF=∠FOE=60°
∴故选：D．
【点睛】此题考查角平分线的定义和角的有关运算．发现组成RT∠COE的两个角：∠FOE=2∠COF是解决问题的关键．
3．（2020·广东省初一月考）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
4．（2021·山西吕梁市·七年级期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，三个图形有一个公共顶点，其中绿色长方形与等腰直角三角形有一条公共边，据此逐项分析解题.
【详解】解：A.折叠后，三个图形没有公共顶点，故A不符合题意；
B.折叠后，长方形与普通三角形是相对面，故B不符合题意；C．折叠后，两个三角形是相对面，故C不符合题意；D．折叠后，三个图形有一个公共顶点，其中绿色长方形与等腰直角三角形有一条公共边，故D符合题意，故选：D.
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
5．（2021·全国·七年级专题练习）如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：①； ②；
③； ④ 其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，故①正确；
∵，∵平分，平分，
∴,∴，故②正确；
∵，∴，
∴，故③正确；
∵不能证明，故④错误；∴正确的选项有3个；故选：C.
【点睛】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
6．（2021·江苏连云港市·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．4
【答案】B
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=；选：B．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
7．（2021·扬州市梅岭中学七年级期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5
【答案】B
【分析】根据题意设OB的长度为2a,则BP的长度为7a，OP的长度为9a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
【详解】解：设OB的长度为2a，则BP的长度为7a，OP的长度为9a，
∵OA：AP＝1：2，∴OA＝3a，AP＝6a，
又∵先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2，再从图2 的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、5a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：5a＝2：2：5，故选：B．
【点睛】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
8．（2021·四川成都市·成都实外）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】D
【分析】根据折叠求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根据∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度数．
【详解】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，使点C落在长方形内部点E处，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角度的倍数关系，主要考查学生的推理和计算能力．
9．（2021·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，
∵平分，∴=x°，
∵∠COD=180°，∴x+x+90+ x=180，解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故选：C．
【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，根据规律得到，
∴，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·河北保定师范附属学校九年级期末）如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则
【答案】20
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵S主＝5x，S左＝4x，且主视图和左视图的宽为x，
∴俯视图的长为5，宽为4，则俯视图的面积S俯＝5×4＝20．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
12．（2021·浙江浙江省·）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
【答案】或
【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，
①如图1，点在的延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，；
②如图2，点在的反向延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
13．（2021·山西运城市·七年级期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是___________．
【答案】4
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共3行，
所以小正方体的个数最少的几何体为：
第一列第一行1个小正方体，第二列第二行2个小正方体，第三列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+1=4个．故答案为：4．
【点睛】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
14．（2020·四川省初一期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_____个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个_____面体．
【答案】12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
【解析】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．
由题意F＝20，∴n+10﹣＝2，解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：F+﹣＝2.化简整理：F＝12 所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，故答案为12，12.
【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.
15．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
【详解】设时针为OB，分针为OA． 当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：60-6x+＝30－解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，
依题意得：6x-90＝30－解得x=；
综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或．
【点睛】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．
16．（2020·辽宁皇姑·七年级期末）如图，在平面内，点是直线上一点，，射线不动，射线，同时开始绕点顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线，的转动速度分别为每秒和每秒．若转动秒时，射线，，中的一条是另外两条组成角的角平分线，则______秒．
【答案】4或5
【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,然后按照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值．
【详解】解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,
①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，
∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，即t=4；
②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，
∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，即t=5；
③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，
∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=∠A′OC=(180°-∠AOA′)=[180°-（360°-40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立．
综上所述：t的值为4或5．故答案：4或5．
【点睛】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
17．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
18．（2021·重庆八中七年级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．
【答案】或
【分析】由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】平分，，
以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，
解得
，
②如图2，当平分时，
解得
故答案为：或
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
三、解答题：本题共8个小题，19-24每题8分，25-26每题9分，共66分。
19．（2021·广东光明区·）如图，已知平面上两条线段AB，CD及一点P，请利用尺规按下列要求作图：
（1）画射线AC，延长线段CD交线段AB于点E；
（2）连接BD，并用圆规在线段AB上求一点F，使BF＝BD（保留画图痕迹）；
（3）在直线AB上求作一点Q，使点Q到C，P两点的距离之和最小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据射线的定义，线段的延长线的定义画出图形即可．（2）以B为圆心，BD为半径作弧，交AB于点F，点F即为所求作．（3）连接PC交AB于点Q，点Q即为所求作．
【详解】解：（1）如图，射线AC，射线CE即为所求作．
（2）如图，线段BF即为所求作．（3）如图，点Q即为所求作．
【点睛】本题考查基本作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是明确概念，熟练掌握基本作图，属于中考常考题型．
20．（2021·西安爱知初级中学七年级月考）某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图：
（1）求该长方体的宽和高；（2）某厂家要为该产品做一个包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（厚度忽略不计），请求出该纸箱的体积．
【答案】（1）长方体的宽和高分别为：cm，2cm；（2）该纸箱的体积为：cm3.
【分析】（1）设长方体的高为cm，则宽为cm，结合展开图可得再解方程可得答案；
（2）由每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，则应该让的面重叠在一起，从而可得这个长方体的纸盒的长，宽，高分别为8cm，6cm，4cm，从而可得答案.
【详解】解：（1）设长方体的高为cm，则宽为cm，所以： 解得：
所以长方体的宽和高分别为：cm，2cm.
（2）由长方体的长和宽和高分别为：，cm，2cm.
而每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，
则应该让的面重叠在一起，此时这个长方体的纸盒的长，宽，高分别为8cm，6cm，4cm.
所以该纸箱的体积为：cm3.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，长方体的认识，掌握利用长方体的展开图的特点列方程是解题的关键.
21．（2021·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，
②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，
当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
22．（2021·江苏·汇文实验初中七年级月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：
（1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝ 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝ °；
（3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？
（4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON的夹角?
【答案】（1） 9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4．
【分析】（1）当OA与OB第一次重合时，OA与OB转过的角度之和为180°，据此得到方程，求解即可；
（2）当秒时，，，根据角的和差即可求解；
（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，分类讨论：当OA与OB重合之前、当OA与OB重合之后，利用角的和差即可求解；（4）由题意可得，，，根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合，
根据题意可得：，解得，故答案为：9；
（2）当秒时，，，
∴，故答案为：120；
（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，
①当OA与OB重合之前，由题意可得：，解得；
②当OA与OB重合之后，由题意可得：，解得，
∴秒或秒时，OA与OB的夹角为20°；
（4）由题意可知，
∴，，，
当ON平分OA与OB的夹角时，即，∴，解得；
当OA平分OB与ON的夹角时，即,∴，解得．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、角的和差等，根据题意列出方程是解题的关键．
23．（2021·湖南长沙市·明德华兴中学）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推导出x与y的和即可求得答案；
（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据，即可得到答案.
【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；
（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，
∴180°，
即90°，∴45°，∴75°；
（3）,，
∴180°，∴90°，
又∵，
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（2021·湖南·长沙市雅礼实验中学七年级开学考试）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．
（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；
（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；
（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．
【答案】（1）60°；（2）；（3）或
【分析】（1）根据角分线的定义、旋转的过程即可求解；
（2）根据旋转的过程和角分线的定义进行角的计算即可；
（3）分两种情况讨论：OB落在不同位置时进行角的计算即可．
【详解】解：（1）如图①，根据题意，得∠DOC＝4×20°＝80°
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，
∵射线OE平分∠AOC，∴，
答：∠EOA的度数为60°．
（2）根据题意，得∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°
∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
∴，∠AOF＝20°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，
答：∠EOF的度数为．
（3）∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
根据题意，得∴，
①如图②：当OB落在OF和OD之间时，∠BOD＝40﹣10t，40﹣10t＝10，解得t＝3．
②如图3：当OB落在OD和OE之间时，∠BOD＝10t﹣40，10t﹣40＝10解得t＝5．
当t＝3时，的值为，当t＝5时，的值为．答：的值为或．
【点睛】此题考查了几何图形中角的和差倍分运算，角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义以及和差的关系是解题的关键．
25．（2021·湖北武汉市·七年级期中）（问题背景）在数轴上，点表示数在原点的左边，点表示的数在原点的右边，如图1，所示，则有：①；②线段的长度等于．
（问题解决）点、点、点在数轴上的位置如图2所示，三点对应的数分别为，、．
①线段的长度为_________；
②若点为线段的中点，则点表示的数是________；
③化简：．
（关联运用）①已知：点、点、点、点在数轴上的位置如图3所示，点对应的数为，点对应的数为，若定长线段沿数轴正方向以每秒个单位长度匀速运动，经过原点需要1秒，完全经过线段需要2秒，求的值；②已知，当式子取最小值时，相应的的取值范围是_________，式子的最小值是__________．（用含、的式子表示）
【答案】（问题解决）①8；②t+1；③；（关联运用）①；②；
【分析】（问题解决）①根据题意，及数轴上两点间的距离解题；②根据中点公式及两点间的距离解题；
③先判断每个绝对值内的数的正负性，再结合绝对值的性质化简即可；
（关联运用）①设表示的数为，则表示的数为，分别计算t秒时点E、F表示的数，再根据与重合时或和重合时，列式解题即可；
②数轴上动点到四个点的距离之和最小，即点处在四个点的中间区域，即，再代入式子，化简绝对值解题即可.
【详解】（问题解决）①由问题背景：线段AB的长为，可知MN=故答案：8；
②Q为MN中点设为x，则MQ=，MQ=,,故答案为:t+1；
③观察数轴可知，
（关联运用）①∵经过原点需要1秒，∴，
设表示的数为，则表示的数为，秒时，：，：，
当与重合时，，；当和重合时，，．
由题知：，，，．
②表示到、、、（数轴上从左至右排列）之间的距离之和（注意：距离和最小，在最中间）， 则当时，距离之和有最小值故答案为：；．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，其中涉及数轴上的动点问题，线段的中点、绝对值的化简等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
26．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度；（2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）．
【答案】（1）60，75；（2），理由见详解；（3）①当时，；②当时，或120°，③当时，；④当时，或60°；⑤当时，
【分析】（1）由题意易得，然后根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；
（2）由题意易得，，进而可得，然后问题可求解；
（3）设旋转角度为，根据题意可得：，①当时，②当时，即为平角，③当时，④当时，则，⑤当时，然后进行分类求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，∴，
∵恰好平分，∴，
∴；故答案为60，75；
（2）的度数不发生变化，理由如下：
∵射线平分，射线平分，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）设旋转角度为，根据题意可得：，
∵射线平分，射线平分，∴，
①当时，如图所示：
∴，
②当时，即为平角，可分为：当点M在OB上，如图所示：
∴，∴；
当点M在BO的延长线时，如图所示：
∴；
③当时，如图所示：
∴，
∴，解得：，
∴；
④当时，则，如图所示：
∴当ON平分在∠BOD的左边时，则，当ON平分在∠BOD的右边时，则；
⑤当时，如图所示：
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平角的意义，熟练掌握角平分线的定义及平角的意义是解题关键．
第四章 几何图形初步（人教版）
选拔卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·北京二中七年级期末）有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中A，B，C，D中的（ ）位置拼接正方形．
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．
【详解】解：如图所示：
根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形．故选：A．
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．
2．（2021·浙江省义乌市望道中学七年级月考）如图，已知的顶点在直线上，平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用角平分线的定义算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE为直角，可求出∠COF的度数，再求出∠AOF的度数，最后可求得∠BOE的度数．
【详解】解：∵平分∴∠AOF=∠FOE
∵平分∴∠AOF=2∠COF∴∠FOE=2∠COF
又∠COE是直角∴∴∠AOF=∠FOE=60°
∴故选：D．
【点睛】此题考查角平分线的定义和角的有关运算．发现组成RT∠COE的两个角：∠FOE=2∠COF是解决问题的关键．
3．（2020·广东省初一月考）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
4．（2021·山西吕梁市·七年级期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，三个图形有一个公共顶点，其中绿色长方形与等腰直角三角形有一条公共边，据此逐项分析解题.
【详解】解：A.折叠后，三个图形没有公共顶点，故A不符合题意；
B.折叠后，长方形与普通三角形是相对面，故B不符合题意；C．折叠后，两个三角形是相对面，故C不符合题意；D．折叠后，三个图形有一个公共顶点，其中绿色长方形与等腰直角三角形有一条公共边，故D符合题意，故选：D.
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
5．（2021·全国·七年级专题练习）如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：①； ②；
③； ④ 其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，故①正确；
∵，∵平分，平分，
∴,∴，故②正确；
∵，∴，
∴，故③正确；
∵不能证明，故④错误；∴正确的选项有3个；故选：C.
【点睛】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
6．（2021·江苏连云港市·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．4
【答案】B
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=；选：B．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
7．（2021·扬州市梅岭中学七年级期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5
【答案】B
【分析】根据题意设OB的长度为2a,则BP的长度为7a，OP的长度为9a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
【详解】解：设OB的长度为2a，则BP的长度为7a，OP的长度为9a，
∵OA：AP＝1：2，∴OA＝3a，AP＝6a，
又∵先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2，再从图2 的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、5a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：5a＝2：2：5，故选：B．
【点睛】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
8．（2021·四川成都市·成都实外）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】D
【分析】根据折叠求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根据∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度数．
【详解】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，使点C落在长方形内部点E处，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角度的倍数关系，主要考查学生的推理和计算能力．
9．（2021·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，
∵平分，∴=x°，
∵∠COD=180°，∴x+x+90+ x=180，解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故选：C．
【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，根据规律得到，
∴，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·河北保定师范附属学校九年级期末）如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则
【答案】20
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵S主＝5x，S左＝4x，且主视图和左视图的宽为x，
∴俯视图的长为5，宽为4，则俯视图的面积S俯＝5×4＝20．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
12．（2021·浙江浙江省·）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
【答案】或
【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，
①如图1，点在的延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，；
②如图2，点在的反向延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
13．（2021·山西运城市·七年级期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是___________．
【答案】4
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共3行，
所以小正方体的个数最少的几何体为：
第一列第一行1个小正方体，第二列第二行2个小正方体，第三列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+1=4个．故答案为：4．
【点睛】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
14．（2020·四川省初一期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_____个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个_____面体．
【答案】12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
【解析】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．
由题意F＝20，∴n+10﹣＝2，解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：F+﹣＝2.化简整理：F＝12 所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，故答案为12，12.
【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.
15．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
【详解】设时针为OB，分针为OA． 当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：60-6x+＝30－解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，
依题意得：6x-90＝30－解得x=；
综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或．
【点睛】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．
16．（2020·辽宁皇姑·七年级期末）如图，在平面内，点是直线上一点，，射线不动，射线，同时开始绕点顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线，的转动速度分别为每秒和每秒．若转动秒时，射线，，中的一条是另外两条组成角的角平分线，则______秒．
【答案】4或5
【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,然后按照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值．
【详解】解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,
①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，
∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，即t=4；
②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，
∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，即t=5；
③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，
∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=∠A′OC=(180°-∠AOA′)=[180°-（360°-40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立．
综上所述：t的值为4或5．故答案：4或5．
【点睛】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
17．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
18．（2021·重庆八中七年级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．
【答案】或
【分析】由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】平分，，
以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，
解得
，
②如图2，当平分时，
解得
故答案为：或
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
三、解答题：本题共8个小题，19-24每题8分，25-26每题9分，共66分。
19．（2021·广东光明区·）如图，已知平面上两条线段AB，CD及一点P，请利用尺规按下列要求作图：
（1）画射线AC，延长线段CD交线段AB于点E；
（2）连接BD，并用圆规在线段AB上求一点F，使BF＝BD（保留画图痕迹）；
（3）在直线AB上求作一点Q，使点Q到C，P两点的距离之和最小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据射线的定义，线段的延长线的定义画出图形即可．（2）以B为圆心，BD为半径作弧，交AB于点F，点F即为所求作．（3）连接PC交AB于点Q，点Q即为所求作．
【详解】解：（1）如图，射线AC，射线CE即为所求作．
（2）如图，线段BF即为所求作．（3）如图，点Q即为所求作．
【点睛】本题考查基本作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是明确概念，熟练掌握基本作图，属于中考常考题型．
20．（2021·西安爱知初级中学七年级月考）某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图：
（1）求该长方体的宽和高；（2）某厂家要为该产品做一个包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（厚度忽略不计），请求出该纸箱的体积．
【答案】（1）长方体的宽和高分别为：cm，2cm；（2）该纸箱的体积为：cm3.
【分析】（1）设长方体的高为cm，则宽为cm，结合展开图可得再解方程可得答案；
（2）由每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，则应该让的面重叠在一起，从而可得这个长方体的纸盒的长，宽，高分别为8cm，6cm，4cm，从而可得答案.
【详解】解：（1）设长方体的高为cm，则宽为cm，所以： 解得：
所以长方体的宽和高分别为：cm，2cm.
（2）由长方体的长和宽和高分别为：，cm，2cm.
而每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，
则应该让的面重叠在一起，此时这个长方体的纸盒的长，宽，高分别为8cm，6cm，4cm.
所以该纸箱的体积为：cm3.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，长方体的认识，掌握利用长方体的展开图的特点列方程是解题的关键.
21．（2021·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，
②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，
当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
22．（2021·江苏·汇文实验初中七年级月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：
（1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝ 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝ °；
（3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？
（4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON的夹角?
【答案】（1） 9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4．
【分析】（1）当OA与OB第一次重合时，OA与OB转过的角度之和为180°，据此得到方程，求解即可；
（2）当秒时，，，根据角的和差即可求解；
（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，分类讨论：当OA与OB重合之前、当OA与OB重合之后，利用角的和差即可求解；（4）由题意可得，，，根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合，
根据题意可得：，解得，故答案为：9；
（2）当秒时，，，
∴，故答案为：120；
（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，
①当OA与OB重合之前，由题意可得：，解得；
②当OA与OB重合之后，由题意可得：，解得，
∴秒或秒时，OA与OB的夹角为20°；
（4）由题意可知，
∴，，，
当ON平分OA与OB的夹角时，即，∴，解得；
当OA平分OB与ON的夹角时，即,∴，解得．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、角的和差等，根据题意列出方程是解题的关键．
23．（2021·湖南长沙市·明德华兴中学）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推导出x与y的和即可求得答案；
（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据，即可得到答案.
【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；
（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，
∴180°，
即90°，∴45°，∴75°；
（3）,，
∴180°，∴90°，
又∵，
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（2021·湖南·长沙市雅礼实验中学七年级开学考试）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．
（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；
（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；
（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．
【答案】（1）60°；（2）；（3）或
【分析】（1）根据角分线的定义、旋转的过程即可求解；
（2）根据旋转的过程和角分线的定义进行角的计算即可；
（3）分两种情况讨论：OB落在不同位置时进行角的计算即可．
【详解】解：（1）如图①，根据题意，得∠DOC＝4×20°＝80°
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，
∵射线OE平分∠AOC，∴，
答：∠EOA的度数为60°．
（2）根据题意，得∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°
∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
∴，∠AOF＝20°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，
答：∠EOF的度数为．
（3）∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
根据题意，得∴，
①如图②：当OB落在OF和OD之间时，∠BOD＝40﹣10t，40﹣10t＝10，解得t＝3．
②如图3：当OB落在OD和OE之间时，∠BOD＝10t﹣40，10t﹣40＝10解得t＝5．
当t＝3时，的值为，当t＝5时，的值为．答：的值为或．
【点睛】此题考查了几何图形中角的和差倍分运算，角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义以及和差的关系是解题的关键．
25．（2021·湖北武汉市·七年级期中）（问题背景）在数轴上，点表示数在原点的左边，点表示的数在原点的右边，如图1，所示，则有：①；②线段的长度等于．
（问题解决）点、点、点在数轴上的位置如图2所示，三点对应的数分别为，、．
①线段的长度为_________；
②若点为线段的中点，则点表示的数是________；
③化简：．
（关联运用）①已知：点、点、点、点在数轴上的位置如图3所示，点对应的数为，点对应的数为，若定长线段沿数轴正方向以每秒个单位长度匀速运动，经过原点需要1秒，完全经过线段需要2秒，求的值；②已知，当式子取最小值时，相应的的取值范围是_________，式子的最小值是__________．（用含、的式子表示）
【答案】（问题解决）①8；②t+1；③；（关联运用）①；②；
【分析】（问题解决）①根据题意，及数轴上两点间的距离解题；②根据中点公式及两点间的距离解题；
③先判断每个绝对值内的数的正负性，再结合绝对值的性质化简即可；
（关联运用）①设表示的数为，则表示的数为，分别计算t秒时点E、F表示的数，再根据与重合时或和重合时，列式解题即可；
②数轴上动点到四个点的距离之和最小，即点处在四个点的中间区域，即，再代入式子，化简绝对值解题即可.
【详解】（问题解决）①由问题背景：线段AB的长为，可知MN=故答案：8；
②Q为MN中点设为x，则MQ=，MQ=,,故答案为:t+1；
③观察数轴可知，
（关联运用）①∵经过原点需要1秒，∴，
设表示的数为，则表示的数为，秒时，：，：，
当与重合时，，；当和重合时，，．
由题知：，，，．
②表示到、、、（数轴上从左至右排列）之间的距离之和（注意：距离和最小，在最中间）， 则当时，距离之和有最小值故答案为：；．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，其中涉及数轴上的动点问题，线段的中点、绝对值的化简等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
26．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度；（2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）．
【答案】（1）60，75；（2），理由见详解；（3）①当时，；②当时，或120°，③当时，；④当时，或60°；⑤当时，
【分析】（1）由题意易得，然后根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；
（2）由题意易得，，进而可得，然后问题可求解；
（3）设旋转角度为，根据题意可得：，①当时，②当时，即为平角，③当时，④当时，则，⑤当时，然后进行分类求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，∴，
∵恰好平分，∴，
∴；故答案为60，75；
（2）的度数不发生变化，理由如下：
∵射线平分，射线平分，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）设旋转角度为，根据题意可得：，
∵射线平分，射线平分，∴，
①当时，如图所示：
∴，
②当时，即为平角，可分为：当点M在OB上，如图所示：
∴，∴；
当点M在BO的延长线时，如图所示：
∴；
③当时，如图所示：
∴，
∴，解得：，
∴；
④当时，则，如图所示：
∴当ON平分在∠BOD的左边时，则，当ON平分在∠BOD的右边时，则；
⑤当时，如图所示：
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平角的意义，熟练掌握角平分线的定义及平角的意义是解题关键．
相关资料
更多
