第1章 二次函数-九年级数学上册高分拔尖提优单元密卷（浙教版）（解析版）

2020–2021学年九年级数学上册高分拔尖提优单元密卷（浙教版）

第1章  二次函数

姓名：__________班级：__________成绩：__________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是(        )

A. B. C.         D.

【解析】根据二次函数的定义，可得答案．

【解答】

解：，是一次函数，故错误； ，当时，不是二次函数，故错误；
，是二次函数，故正确；   ，不是二次函数，故错误.
故选

2.函数 是关于的二次函数，则的值为(        )

A. B. C. D.

【解析】由二次函数定义得：
且，
解得且，
故.      故选.

 3. 二次函数的图象的顶点坐标，对称轴分别是(        )

A.，直线 B.，直线
C.，直线 D.，直线

【解析】

由题知：顶点坐标为，对称轴为.
故选.
4.关于抛物线，下列说法正确的是（     ）

A.顶点是坐标原点 B.对称轴是直线
C.有最高点 D.经过坐标原点

【解析】先用配方法把二次函数化成顶点式，就能判断的正确与否，由的正负判断有最大值和最小值，看是否满足即可判断的正确与否．

【解答】

解：∵   ，
，
，
∴   顶点坐标是：，对称轴是直线，
∵   ，∴   开口向上，
有最小值，
∵   当时，，
∴   图象经过坐标原点，    故答案为：正确  

5. 关于二次函数，下列说法正确的是(        )

A.图像与轴的交点坐标为         B.图像的对称轴在轴的右侧

C.当时，的值随值的增大而减小      D.的最小值为

【解析】∵   ，
∴   当时，，故选项错误；
该函数的对称轴是直线，在轴左侧，故选项错误；
当时，随的增大而减小，故选项错误；
当时，取得最小值，此时，故选项正确.
故选．

6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ）

A.开口向下 B.顶点坐标是
C.对称轴是 D.有最小值是

【解析】∵   ，
∴   抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为，
当时，有最小值，
故选．

7.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是(        )

A. B.
C. D.

【解析】，由抛物线可知，，，得，
由直线可知，，，故本选项错误；   ，由抛物线可知，，，得，
由直线可知，，，故本选项错误；      ，由抛物线可知，，，得，
由直线可知，，，故本选项正确；       ，由抛物线可知，，，得，
由直线可知，，，故本选项错误．      故选．

8. 抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是(        )

A.先向左平移个单位长度，然后向上平移个单位   B.先向左平移个单位长度，然后向下平移个单位

C.先向右平移个单位长度，然后向上平移个单位   D.先向右平移个单位长度，然后向下平移个单位

【解析】抛物线顶点为，抛物线的顶点为，
则抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到抛物线的图象．
故选.
9. 某烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为       

A. B.  C. D.

【解析】把升空高度与飞行时间的关系式化成顶点式为：
，
∴   当时，炮弹到达它的最高点，最高点的高度是．
故选.

10.如图，若二次函数＝图象的对称轴为直线＝，与轴交于点，与轴交于点、点，则：
①二次函数的最大值为；       ②，，；
③；   ④当时，．   其中正确的个数是（     ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】①由图可知：＝是抛物线的对称轴，
且抛物线的开口向下，
∴   当＝时，的最大值为＝，故①正确；
②∵   抛物线开口向下，与轴的交点在正半轴，
∴   ，，
∵   ，＝，故②正确；
③由图象可知：，
∴   ，故③正确；
④关于＝对称点为，
∴   ，，故④正确；

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.  如果＝是关于的二次函数，则＝________．

【答案】

【解析】根据二次函数的定义求解即可．

【解答】根据二次函数的定义：＝，，
解得：＝，

 12. 二次函数＝的图象的对称轴为＝________．

【答案】

【解析】∵   ＝是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线＝．

13.二次函数＝ 的图象经过原点，则的值为________．

【答案】

【解析】将代入＝ 即可得出的值．

【解答】

∵   二次函数＝ 的图象经过原点，
∴   ＝，
∴   ＝，
∵   ，
∴   ，
∴   的值为．

14.抛物线＝的顶点坐标是________．

【答案】

【解析】直接利用配方法得出二次函数的顶点坐标即可．

【解答】抛物线＝＝的顶点坐标是：．

15. 二次函数的部分图象如图所示，则使的的取值范围是________．

16.抛物线的大致图象如图，则的取值范围是________.
 

【答案】

【解析】当时，，
当时，，
∴   .
∴   ，
∴   .
故答案为：.

 17.如图，抛物线经过、、三点，点是直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，则的面积的最大值是________．

【答案】

【解析】要求的最大值，只要表示出的面积即可，根据题目中的信息可以求出抛物线的解析式和直线的解析式，从而可以表示出三角形的面积，从而可以求得的最大值．

【解答】

设抛物线的解析式是＝，
∵   抛物线经过，，三点，
∴   ，
解得，，
∴   ＝，
设过点，的直线的解析式为＝
，
解得，，
即直线的直线解析式为：＝，
设点的坐标是
∴   ，
∴   当＝时，的面积取得最大值，最大值是．

 18. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：
①；    ②当时，随增大而减小；
③；    ④若方程没有实数根，则.
其中，正确的结论有________．

【答案】②③④

【解析】

①根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可．
②根据抛物线的对称轴＝，可得当时，随增大而减小，据此判断即可．
③根据抛物线与轴的一个交点在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当＝时，，据此判断即可．
④根据＝的最大值是，可得方程＝没有实数根，则，据此判断即可．

【解答】

解：∵   抛物线与轴有两个交点，
∴   ，
∴   结论①不正确．
∵   抛物线的对称轴，
∴   当时，随增大而减小，
∴   结论②正确．
∵   抛物线与轴的一个交点在点和之间，
∴   抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴   当时，，
∴   ，
∴   结论③正确．
∵   的最大值是，
∴   方程没有实数根，则，
∴   结论④正确．
综上，正确结论的序号是：②③④．
故答案为：②③④．

三、解答题（共6小题，共46分）

19.（6分）若函数＝． 

（1）当为何值时，该函数为二次函数？   （2）该函数可能为反比例函数吗？为什么？

【解析】

（1）直接利用二次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用反比例函数的定义分析得出答案．

【解答】

∵   函数＝，
∴   ＝时，解得：＝，＝，
∵   ，
∴   ＝时，该函数为二次函数；

该函数不可能为反比例函数．
理由：当该函数为反比例函数，则＝，
此时＝＝，方程无实数根，
故该函数不可能为反比例函数．

 20.（6分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
  

写出方程的两个解；

当为何值时，？

【解析】

（1）找到抛物线与轴的交点即可得出方程的两个根；

（2）分别寻找抛物线在轴上方、轴下方时的取值范围即可；

【解答】

解：由图象可得：，；

结合图象可得：或时；

21.（8分）如图，抛物线  经过 两点，与轴交于点
 

求抛物线的解析式；

求出抛物线  的顶点和对称轴.

【解析】（1）将点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式；

【解答】

解：把，两点分别代入得：

解得

∴   ；

由得：,

整理得，

∴   顶点是，

对称轴是直线.

 22.（8分）如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
 

求抛物线的解析式；       求抛物线的顶点坐标；

已知点在第一象限的抛物线上，求点的坐标．

【解析】

（1）由于抛物线经过、两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；

（2）由于点在第一象限的抛物线上，把的坐标代入（1）中的解析式即可求出，然后利用对称就可以求出关于直线对称的点的坐标．

【解答】

解：∵   抛物线经过、两点，
∴   ，
解之得：，，
∴   .

由可知，抛物线的方程为：，
即，
∴   顶点坐标为.

∵   点在第一象限的抛物线上，
∴   把的坐标代入中的解析式得 
，
∴   或（舍去），
∴   ，
∴   .

 23.（8分）如图，抛物线  经过  两点，与轴另一交点为，顶点为 

求抛物线的解析式；

在轴上找一点，使的值最小，并求出最小值；

在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

【解析】

（1）直线＝与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解；
（3）分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解．

【解答】

解：将点，的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
故函数的表达式为：.

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，

函数顶点坐标为，点，
设直线的解析式为：，则
 解得
直线的表达式为：，
当时，，
故点，
则的最小值为；

①当点在轴上方时，如图，

∵   ，则，
过点作于点，设，
则，
由勾股定理得：，
，解得：，
则
则；
②当点在轴下方时，
则；
故点的坐标为或．

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是且经过，两点，与轴的另一交点为点．
 

求二次函数  的表达式；

若点为直线上方的抛物线上的一点，连接，，．求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；

抛物线上是否存在点，过点作  垂直轴于点，使得以点为顶点的三角形与  相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）先求的直线与轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点的坐标；
（2）设抛物线的解析式为＝＝，然后将点的坐标代入即可求得的值；
（3）设点、的横坐标为，分别求得点、的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的面积的最大值以及此时的值，从而可求得点的坐标；

【解答】

解：在直线中，当时，，当时，，
∴   ，，
由抛物线的对称性可知：点与点关于对称，
∴   点的坐标为，．
∵   抛物线过，，
∴   可设抛物线解析式为，
又∵   抛物线过点
∴   ，
∴   ，
∴   ．

设．
过点作轴交于点，

∴   ，
∴  
，
∵  
，
∴   当时，的面积有最大值是，
又，
∴   四边形面积的最大值是，此时

在  和中，
∴   ，
又∵   ，
∴   ，
∵   ，
∴   ，
∴   ，
∴   ，
如图：

①当点与点重合，即  ，
点与点重合时，，
②根据抛物线的对称性，当  时，，
③当点在第四象限时，设  ，则，
∴   ，
当时，  ，即，
整理得： ，
解得：  (舍)，，
；
当时， ，即 ，
整理得： ，
解得：  (舍） ，，
.
综上所述：存在  ， ，
使得以点，，为顶点的三角形与  相似．