湖北省随州市广水市2023届九年级下学期中考模拟（3月份）数学试卷(含解析)

2023年湖北省随州市广水市中考数学模拟试卷（3月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国的“天问一号”火星探测器成功着陆火星，据测算，地球到火星的最近距离约为千米，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著九章算术中被称为“堑堵”图“堑堵”的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买个排球和个实心球共需元，若购买个排球和个实心球共需元，若设每个排球元，每个实心球元，则根据题意列二元一次方程组得(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校名学生参赛成绩统计如图所示．对于这名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是(    )

A. 众数是
B. 中位数是
C. 平均数是
D. 极差是

7.  观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小明喜欢构建几何图形，利用数形结合的思想解决代数问题在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以，，类比小明的方法，计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面是一个轴对称图形如图所示若渠底宽为，渠道深为，渠壁的倾角为，则渠口宽为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  设，是一元二次方程的两根，则          ．

13.  “圆材埋壁”是我国古代数一学著作九章算术中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，为的直径，弦，垂足为，寸，尺，则直径长为______寸．

14.  如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是______ ．

15.  生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用来表示，满十六进一，它与十进制对应的数如表：

例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为______．

16.  如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，
若点恰为边的中点，则______．
设，则关于的函数表达式是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，，延长至点，使，连接．
求证：四边形是矩形．
连接，若，，求的长．

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点，两点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
求的面积．

20.  本小题分
某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩单位：分分成：，，，，五个组，并绘制了如图和图所示的统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题．
本次抽取测试的学生有______ 人， ______ ；
直接补全图中的统计图，由扇形统计图知组所占扇形圆心角的度数为______ ；
根据调查结果，可估计该校名学生中，成绩大于或等于分的学生约有______ 人
学校决定在组名学生男女中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一男一女的概率是多少？

21.  本小题分
如图，在中，，是上一点，以为直径作，交于点，交于点，连接，恰好是的平分线．
求证：是的切线．
若的半径为，，求的长．

22.  本小题分
中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天，且为整数与该天销售量件之间满足函数关系如表所示：

为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价元与第天且为整数成一次函数关系且满足已知该纪念品成本价为元件．
求关于的函数表达式；
求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量件仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是元，求的值．

23.  本小题分
爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论：

【问题发现】如图所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小明的解法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，
是的角平分线，且，，
______ ，
，
，
．
【类比探究】如图所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点求证：；
【直接应用】如图所示，中，，平分交于，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ______ ．
【拓展应用】如图所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，点刚好落在上的点，剪掉重叠部分即四边形，再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分即四边形，求出剩余部分的面积．

24.  本小题分
二次函数交轴于点和点，交轴于点．
求二次函数的解析式；
如图，点为抛物线的顶点，点为轴负半轴上的一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，其中，旋转后的对应点分别记为，，当四边形的面积为时，求的值；
如图，过点作轴，交抛物线于另一点点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点是否存在点使为直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案

1.【答案】 

解析：解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

解析：解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法，关键是掌握的值的确定方法，当原数大于等于时，等于原数的整数数位减．
 

3.【答案】 

解析：解：如图：

，
，
．
故选：．
根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

解析：解：图“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

解析：解：设每个排球元，每个实心球元，
则根据题意列二元一次方程组得：，
故选：．
根据“购买个排球和个实心球共需元，购买个排球和个实心球共需元”可得．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

6.【答案】 

解析：

【解答】
解：出现了次，出现的次数最多，众数是；故A正确；
共有个数，中位数是第、个数的平均数，中位数是；故B正确；
平均数是；故C错误；
极差是：；故D正确．
故选C．  

7.【答案】 

解析：解：由作图痕迹可得，，
不能说明，
故A选项不符合题意；
B.由作图痕迹可知，所作射线为的平分线，
不能说明，
故B选项不符合题意；
C.由作图痕迹可知，所作射线为中边上的高，
不能说明，
故C选项不符合题意；
D.由作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，
设线段的垂直平分线与交于点，

，
在中，，
，
即，
故D选项符合题意．
故选：．
根据各选项的作图痕迹逐项分析即可．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

解析：解：如图：在中，，，延长到点，使，连接，

设，
，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
仿照例题的解题思路，利用直角三角形的边角关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形，实数的运算，等腰直角三角形，理解例题的解题思路进行计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

解析：

【解答】
解：过点作，垂足为，

则，，
四边形是一个轴对称图形，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：．  

10.【答案】 

解析：解：观察图象可知：，，，
，故错误；
对称轴为直线，，
可得，，
点，点，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：．
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得，，点，点，当时，即可判断；根据对称轴，以及得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

解析：解：原式

．
故答案为：．
原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

解析：解：是方程的两根，
，，
．
故答案为．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，，则，．
直接根据根与系数的关系求解．
 

13.【答案】 

解析：解：连接，设，则，
，尺，
寸，
在中，
，即，
解得寸．
寸．
故答案为：．
连接，设，则，再根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求出的值，进而得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

解析：解：设黑色三角形的面积为，
根据七巧板拼成的正方形的几何性质得到黑色平行四边形的面积为，正方形的面积为，
故它最终停在黑色区域的概率是．
故答案为：．
设黑色三角形的面积为，根据七巧板拼成的正方形的几何性质得到黑色平行四边形的面积为，正方形的面积为，然后利用概率的概念计算即可．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

15.【答案】 

解析：解：十六进制中对应十进制的数为

，
故答案为：．
根据题意列出算式，再进一步计算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式．
 

16.【答案】   

解析：解：点为边的中点，
，
四边形是矩形，
，，
，
由折叠得：
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：；
由可得，
∽，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段中点的定义可得，利用矩形的性质可得，，从而可得，然后根据折叠可得：，，，从而可得，，再利用同角的余角相等可得，最后证明一线三等角模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质即可解答；
利用的结论可得，∽，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换折叠问题，函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键
 

17.【答案】解：，
，
，
当，
原式． 

解析：将展开进行化简，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查了完全平方公式、单项式与多项式相乘以及合并同类项，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：如图，四边形是平行四边形，
，，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为． 

解析：由平行四边形的性质得出，，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
由矩形的性质得，，则，再由勾股定理得，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：把代入得，解得；
把代入得，
一次函数的表达式是，反比例函数的表达式；

由，解得或，
点坐标为，
设直线与轴的交点为，
把代入求得，
，
的面积的面积的面积． 

解析：分别把点坐标代入和中计算出和的值即可；
先确定点坐标，然后设直线与轴的交点为，求得的坐标，再根据三角形面积公式求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
 

20.【答案】       

解析：解：本次抽取测试的学生有人，，即，
故答案为：、；
组人数为人，
补全图形如下：

由扇形统计图知组所占扇形圆心角的度数为；
故答案为：；
根据调查结果，可估计该校名学生中，成绩大于或等于分的学生约有人，
故答案为：；
根据题意列表如下：

由表格可知，共有种等可能的结果，其中选取的名学生恰好是一男一女的结果有种，
恰好选中一男一女的概率是
由组人数及其所占百分比可得总人数，用组人数除以总人数可得的值；
总人数乘以组对应百分比可得其人数，用乘以组人数所占比例即可得出答案；
总人数乘以样本中、、、组人数和所占比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】证明：连接，

平分，
．
，
，
，
．
，
，
是半径，
是的切线；

解：，
∽，
，
即，
解得． 

解析：连接，根据角平分线定义得，由“等边对等角”得，进而得出，即可得出答案；
先证明∽，即可得出，再代入数值计算即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
 

22.【答案】解：由表格信息可知是的一次函数，设关于的函数表达式为，
把和代入可得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
设总利润为元，
则，
，，
当时，最大，最大值，
答：第天利润最大，最大值为元；
由题意可得：
第天开始每件商品的单价为元，
每件商品的利润为：元，
设此时利润为元，
则，
对称轴，
又且，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
，
解得：．
综上：第天时，利润最大为元时，此时． 

解析：根据表中数据可知是的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式；
设总利润为元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
设第天总利润为元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求出函数取得最大值时的值，再根据最大利润是，解出的值．
本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
 

23.【答案】   

解析：解：根据角平分线的性质得，，
故答案为：；
证明：过点作于，过点作于过点作于点．

平分，，，
．
，，
；
解：作于，

是的平分线，，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：；
解：，，，
，
将先沿的平分线折叠，

，，，，
，
由可得，
，，
，
同理可求：，
，
．
根据角平分线的性质可得答案；
过点作于，过点作于过点作于点根据角平分线的性质得，再利用面积法可得结论；
作于，由角平分线的性质得，由勾股定理得，，再利用三角函数可得答案；
由可得，从而得出的面积，同理可求：，进而解决问题．
本题是阅读理解题，主要考查了角平分线的性质的应用，翻折的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：二次函数过点，，，
，
解得：，
该抛物线解析式为：；
如图，连接、，延长，交轴于点．

由得，
抛物线顶点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
抛物线绕点旋转，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
解：设，
当时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，

，

，
，
，
，，，，
，
化简得：，
解得：，舍去，
；
当时，与同理可得：，
解得：舍去，，
；
当时，如图，由是等腰直角三角形，

也是等腰直角三角形，
，
，
化简得：，
解得：，舍去，
点的坐标为；
当时，由是等腰直角三角形，
可得也是等腰直角三角形，
，
，
化简得：，
解得：，舍去，
点的坐标为，
综上所述：满足条件的点的坐标为：，，，． 

解析：运用待定系数法将，，代入，解方程组即可求得二次函数解析式；
如图，连接、，延长，交轴于点利用待定系数法求出直线的解析式，根据抛物线绕点旋转，可得四边形是平行四边形，运用平行四边形性质即可求得答案；
设，根据以点、、为顶点的三角形是直角三角形，分四种情况分别讨论即可：当时，当时，当时，当时，利用等腰直角三角形性质建立方程求解即可得出答案．