2022-2023学年广东省梅州市高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省梅州市高二下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】先求集合M，由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，进而运算求解即可.【详解】因为，由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，可得，所以.故选：B.2．命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（    ）A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直【答案】C【分析】根据特称命题的否定分析判断.【详解】由题意可知：“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是“任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直”.故选：C.3．读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（    ）A．100 B．200 C．300 D．400【答案】B【分析】利用正态分布的对称性进行求解，得到，从而求出生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数.【详解】由正态分布的对称性可知：，所以，所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为.故选：B4．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.  若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意推得垂直平分，可得，于是解直角三角形可得的值，由二倍角正弦公式即可求得答案.【详解】由题意知垂直平分，故，在中，，则,则，而，故，即太阳高度角的正弦值为，故选：B5．设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）  A．有两个极值点 B．C．为的极小值 D．有一个极大值【答案】D【分析】根据给定的图象，求出和的解集，再逐项判断作答.【详解】令的图象与x轴最右边交点横坐标为，观察图象知，由，得或，由，得或，函数有3个极值点，A错误；函数在上单调递增，，B错误；显然2不是函数的极值点，则不为的极小值，C错误；显然1是函数的极大值点，则有一个极大值，D正确.故选：D6．用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ）A．200 B．210 C．220 D．240【答案】C【分析】特殊讨论能被5整除末位为0或5，且0不能在首位.【详解】被5整除则末位为0或5，若末位为0，则，若末位为5，则，故共有220个，故选:C.7．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则c的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.【详解】在锐角中， ，,故，则，则由正弦定理可得，故选：C【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，即可求得答案.8．已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导数的和运算法则，构造新函数，研究其单调性、奇偶性得到值的大小.【详解】设，则，因为当时，有恒成立，所以时，，所以在单调递减；又是定义在R上的偶函数，则，故为偶函数，则，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确；故选：D. 二、多选题9．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第x年12345利润y亿元23.65m8已知变量y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ）A．B．所得回归直线方程的决定系数，说明拟合效果非常好C．最小二乘法得出的回归直线保证了残差和最小D．预测该人工智能公司第6年的利润约为9.44亿元【答案】BD【分析】利用回归直线经过样本中心点，回归直线方程，及决定系数的含义可得答案.【详解】对于A，，；因为回归直线方程为，所以，解得；A不正确.对于B，因为决定系数，接近于1，所以拟合效果非常好，B正确.对于C，最小二乘法得出的回归直线保证了残差的平方和最小，C不正确.对于D，把代入方程可得，D正确.故选：BD.10．下列命题是真命题的是（    ）A．“且”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要而不充分条件C．“”是“”的充分不必要条件D．在中，“”是“”成立的充要条件【答案】AD【分析】由不等式的性质及充要条件可判定A、C选项；根据平行向量的概念及充要条件可判定B选项；根据解三角形的知识及充要条件可判定D选项【详解】对于A选项，由不等式的性质，且则，充分性成立；当时，，但，必要性不成立，故A选项正确；对于B选项，，则一定同向，可得出，充分性成立；当时，或，故必要性不成立，故B选项错误；对于C选项，则，故即不充分也不必要，C选项错误；对于D选项，在中， ，则，在单调递减，故，充分性成立；若，在中，，在单调递减，则，故，必要性成立，故D选项正确.故选：AD.11．已知函数的图象在内恰有2个零点，则（    ）A．B．直线是图象的一条对称轴C．函数在区间为上单调递增D．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图象【答案】ACD【分析】对于A：根据题意结合正弦函数图象分析运算即可；对于B：根据对称轴与最值的关系分析判断；对于C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对于D：根据图象变换的性质运算求解即可.【详解】因为，则，若函数的图象在内恰有2个零点，则，解得，且，所以，故A正确；因为，且不是最值，所以直线不是图象的对称轴，故B错误；因为，则，且在内单调递增，所以函数在区间为上单调递增，故C正确；将函数的图像向左平移个单位，得到，故D正确；故选：ACD.12．已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为：12其中满足：，且.定义由生成的函数.现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据题意分别求的分布列和期望，以及，进而逐项分析判断.【详解】由题意可知：的可能取值为，且，所以的分布列为123可得，，，所以，，即，可得，，故A、C正确；由题意可知：的可能取值为，可得： 123123423453456则，所以的分布列为23456可得，，（认为此时），则，所以，即，故D错误；又因为，故B正确；故选：ABC.【点睛】关键点睛：对于新定义题型，要明确新定义的条件、原理以及结论，把问题转化为已经学过的知识进行运算求解. 三、填空题13．的展开式中的系数为          （用数字作答）.【答案】672【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式即可求解作答.【详解】二项式的展开式通项公式为，由，得，则，所以所求的系数为672.故答案为：67214．，恒成立，则实数a的取值范围是        .【答案】【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解.【详解】因为，整理得，当时，则不恒成立，不合题意；当时，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故答案为：.15．已知事件A，B，，，，则       .【答案】【分析】根据给定条件，利用全概率及条件概率公式，结合对立事件的概率求解作答.【详解】依题意，，由全概率公式得，即，解得，所以.故答案为： 四、双空题16．A是正整数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集.当时，则集合A的生成集       ；若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为       .【答案】          4【分析】空1：根据题意直接运算即可；空2：根据不等式分析可得B中元素至少有4个元素，且可以找到只有4个元素的集合.【详解】空1：若，则，所以；空2：若A是由5个正整数构成的集合，不妨设，可得，即B中元素至少有4个元素，例如，则，，此时有4个元素，所以生成集B中元素个数的最小值为4.故答案为：；4.【点睛】关键点睛：对于新定义的题型，要充分理解题意，严格执行定义的要求，这是处理此类问题的关键. 五、解答题17．已知函数，且.(1)求实数a的值；(2)若，求函数的值域.【答案】(1)3(2). 【分析】（1）代值计算即可求出值.（2）求出在区间上的值域，再利用二次函数求解作答.【详解】（1）因为函数，，于是，即，解得，所以实数a的值为3.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，于是，由（1）知，，因此当时，，当时，，所以函数的值域是.18．二十大报告将“人与自然和谐共生的现代化”上升到“中国式现代化”的内涵之一，再次明确了新时代中国生态文明建设的战略任务，总基调是推动绿色发展，促进人与自然和谐共生.某环境保护机构为了调查研究人们“保护环境意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表： 保护环境意识强保护环境意识弱合计女性100 120男性 20 合计  200(1)根据统计数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护环境意识的强弱与性别有关？并说明原因；(2)用分层抽样的方法在“保护环境意识强”的受采访人员中选取8人参加一次公益活动，需要在这8个人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员恰为一男一女的概率.附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）利用表格，根据公式计算，与临界值进行比较，可得结论；（2）求出8个人中随机选取两人的选法和两名联络员恰为一男一女的选法，即可求出概率.【详解】（1）列联表表格如下： 保护环境意识强保护环境意识弱合计女性10020120男性602080合计16040200零假设为：人们保护环境意识的强弱与性别无关，由题意得，，依据小概率值的独立性检验，没有证据认为不成立，即人们保护环境意识的强弱与性别无关;（2）根据条件，样本中女性保护环境意识强的女性有100人，保护环境意识强的男性有60人，因为，所以采用比例分层抽样的方法抽取8人，则女性抽取5人，男性抽取3人，所以两名联络员恰为一男一女的概率.19．已知函数.(1)求的单调区间：(2)求证：在区间上有且仅有一个零点.【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间作答.（2）利用（1）的结论，借助零点存在性定理推理作答.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，由，得或，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的递增区间是，递减区间是.（2）因为，则由（1）知，函数在上单调递增，而，因此存在唯一实数，使得，所以函数在区间上有且仅有一个零点.20．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；（2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值.【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为AD为角A的角平分线，所以，又，所以，所以，不妨设，，则，故，延长至点E，使得，连接，则，又，所以，故，，则，，则，，在中，由余弦定理，得，即，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故.所以长的最大值为.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.21．一袋中有3个白球和4个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为.(1)求的数学期望；(2)设，，求（用和k表示）.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意分析可知的可能取值为，结合独立事件概率乘法公式求分布列，进而可求期望；（2）分和两种情况，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】（1）当时，取出的是白球的概率为，取出的是黑球的概率为，由题意可知：的可能取值为，则有：，所以的分布列为345的数学期望.（2）①当时，即第n次操作后袋中有3个白球，黑球4个，所以；当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种：第n次操作后袋中有个白球，黑球个，第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为；②第n次操作后袋中有个白球，黑球个，第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率为；故；综上所述：.22．已知函数在点处的切线方程为：.(1)求实数a，b的值；(2)证明：；(3)若方程有两个实数根,且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）由函数在点处的切线方程求解；（2）观察，构造出在点处的切线为，令，只需证明；（3）方程的根不太好确定，由（2）可构造出，找出的根为，利用单调性确定；再构造一个函数在点处的切线方程，同理可得，，找出的根，利用单调性判定出，从而得证.【详解】（1）由题，，,因为所以，则.（2）由（1）知，，，设在点处的切线为，斜率，则，令，则，当时，，在单调递减；当时，令，则恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，故，所以,.（3）由（2）知，，设的根为，则，又函数单调递减，故，故，记，，，当时，，在单调递减；当时，令恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，故，所以，则，设的根为，则，又函数单调递增，故，故，又，所以.【点睛】关键点睛：构造函数是关键，此题关键的几步都是构造函数，首先，找到在点处的切线为，其次是找到函数在点处的切线方程，对的根进行转换，非常灵活，属于难题.