2022-2023学年河南省新乡市高二上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省新乡市高二上学期期末数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省新乡市高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线垂直，列出方程，求出a的值即可.【详解】由直线，，可得，解得．故选：D.2．已知数列满足，且，则（    ）A．1 B．3 C．9 D．【答案】B【分析】利用递推关系式逐项计算后可求，也可以利用累乘求的值.【详解】解法一：．解法二：由，可得．故选：B.3．下列条件能使点与点一定共面的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【详解】设，若，则点共面．对于A，，由于，故A错误；对于B，，由于，故B错误；对于C, ，由于，故C错误；对于D，，由于，得共面，故D正确.故选：D.4．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值.【详解】设等差数列的公差为，由可得，整理可得，所以，，令，即，解得，因此，当取最小值时，.故选：C.5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）  A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化.【详解】连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，故，又，.故选：C6．已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则（    ）A．5 B．8 C．15 D．【答案】A【分析】先求出方程的两个根，然后进行分类讨论即可【详解】设等比数列的公比为由可得两个实数根为，因为与分别为方程的两个根，所以该方程组无实数解；或者，解得，所以故选：A7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，，所以，所以，．设是平面的法向量，  则，令，得．故点到平面的距离为．故选：B8．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线可得到渐近线方程，，然后利用点到直线的距离公式求得，接着在利用余弦定理即可求出答案【详解】由双曲线可得，渐近线方程为，离心率为，不妨取渐近线即，所以到渐近线的距离为，在中，，所以，，即，在中，即，所以，所以故选：D 二、多选题9．已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可.【详解】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确；对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确；对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确；对于选项D：时，，不满足题意，故D错误；故选：ABC.10．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（    ）  A．平面B．平面C．D．直线与直线所成角的余弦值为【答案】BD【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，  则、、、、、，所以，，，，，设平面的法向量为，则，令，得．对于A选项，因为与不平行，所以与平面不垂直，A错；对于B选项，因为，所以，且平面，所以平面，B对；对于CD选项，，所以，异面直线与直线所成角的余弦值为，C错D对.故选：BD.11．若圆和圆的交点为、，则（    ）A．公共弦所在直线的方程为B．线段的中垂线方程为C．公共弦的长为D．与和都相切的两条直线交于点【答案】ABD【分析】将两圆方程作差可得出公共弦的方程，可判断A选项；分析可知直线垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；利用三角形相似求出两圆公切线的交点的坐标，可判断D选项.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，则，所以，，所以，圆、相交，对于A选项，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，A对；对于B选项，由圆的几何性质可知，直线垂直平分线段，所以，线段的中垂线所在直线的方程为，B对；对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，，C错；对于D选项，设两切线交于点，由圆的对称性可知，点在直线上，设两切线分别切圆于、两点，分别切圆于点、，连接、，由切线的几何性质可知，，又因为，故，设点，则，所以，，解得，即点，因此，与和都相切的两条直线交于点，D对.故选：ABD.12．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ）A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为C．为定值 D．四边形面积的最小值为8【答案】AB【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算判断C，D.【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，直线，与坐标轴不垂直，因为，，则四边形为矩形，则，由，得，当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最大值为2，故A正确．由，当且仅当时，等号成立，得，所以四边形周长的最大值为，故B正确．设直线的方程为，，，，联立消得，则则，同理，所以，故C不正确．，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D不正确．故选：AB. 三、填空题13．椭圆的长轴长为      .【答案】8【分析】根据椭圆长轴长定义求解即可.【详解】由题知：，所以长轴长为.故答案为：814．已知空间三点，则点到直线的距离为             ．【答案】【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】易知，则，，故点到直线的距离为．故答案为：.15．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为              ．【答案】【分析】直线过定点，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数的取值范围.【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.   四、双空题16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则      ；数列的前100项和为      .【答案】          【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求得，即可得到，根据，即可得到.【详解】令且，当时，①；当时，②，由①②联立得.所以，累加可得.令(且为奇数)，得.当时满足上式，所以当为奇数时，.当为奇数时，，所以，其中为偶数.所以，所以.因为，所以的前2n项和，所以故答案为：， 五、解答题17．已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，求两点的横坐标之积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用椭圆经过的点和离心率列方程求解；（2）联立直线和椭圆，利用韦达定理求解.【详解】（1）由题意可得，解得故椭圆的方程为．（2）不妨设，   联立消去，得，易得，则由韦达定理，故．18．已知为正项等比数列，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知条件结合等比数列通项的性质，求出公比，即可得数列通项；（2）根据数列特征，用错位相减法求数列前项和.【详解】（1）因为为正项等比数列，且，所以.设等比数列的公比为，则 ， 解得.故（2）依题意有所以，则，两式相减，可得故19．如图，在直四棱柱中，，为棱的中点，点在线段上，且．  (1)证明：．(2)若二面角的余弦值为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示证明即可；（2）求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式列出关于的方程，求解即可．【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．  因为，所以，所以，故．（2）因为，所以．设平面的法向量为，则，令，得．易得平面的一个法向量为．，解得（舍去）．故的值为．20．如图，正三棱锥P－ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点．    (1)证明：起的中点．(2)求直线与平面夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）连接，根据题意证得平面，得到，结合，即可得到是的中点；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，把直线与平面的夹角即直线与平面的夹角，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：连接，因为平面，平面，所以，因为平面平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以是的中点．（2）解：因为正三棱锥的所有侧面都是直角三角形，可得两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，  不妨设，则，由，且，平面，所以平面，因为平面，所以，直线与平面的夹角即直线与平面的夹角，且，连接，由正三棱锥性质可知，点是的重心，所以，故，则，设平面的法向量为，则，令可得，所以．因为，所以直线与平面夹角的正弦值为．21．已知正项数列的前项和为，且.(1)证明：是等差数列.(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先利用题意得到，继而得到，两式相减可得即可证明；（2）由（1）可得，，所以，然后利用裂项相消法可求出，继而分析的单调性即可求解【详解】（1）由可得，当时，两式相减可得，又由可得解得是以为首项，为公差的等差数列，（2）由（1）可得，，所以，所以因为在内单调递增，所以，单调递增，因为，，所以满足不等式的正整数的个数为3，的取值范围为22．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.(1)求双曲线的方程；(2)若的外心为，求的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；(2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.【详解】（1）设双曲线的半焦距为，因为双曲线的右焦点为，所以，因为点和点关于轴对称，所以当时，直线的方程为，联立可得，又，所以，又，所以，故双曲线方程为；（2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，所以可设直线的方程为，联立，消，得，方程的判别式，设，则，，由已知，所以，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，又线段的垂直平分线方程为，所以点的坐标为，所以，所以，所以，，因为，所以，所以，所以所以的取值范围为.【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.