2022-2023学年云南省临沧市民族中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年云南省临沧市民族中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集运算计算出，再求其补集即可.

【详解】解：因为，则，

故.

故选：D.

2．若，其中，则（　　）

A．3 B．2 C．-2 D．-3

【答案】D

【分析】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可.

【详解】∵

∴ 解得

故选：D.

3．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（    ）．

A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支

【答案】B

【分析】由判断出正确答案.

【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，

且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.

如图所示，在线段的延长线上.

故选：B

4．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导化简，再利用同角公式计算作答.

【详解】由得：，即，因，则，

所以.

故选：C

5．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】.

故选：D.

6．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.

【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，

得到直线与垂直，

结合的斜率为1，得直线的斜率为，

所以，化简得①

再由的中点在直线上，，化简得②

联立①②，可得，

所以圆心的坐标为，

所以半径为3的圆的标准方程为.

故选：C

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆方程可得与的值，结合圆与椭圆的位置关系可得的不等式，求解即可.

【详解】由椭圆，得，

所以，又，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，

其方程为，又点在上，所以圆与椭圆有四个公共点，

如图：

所以，解得且，所以的取值范围为.

故选：A

8．已知定义在上的函数，满足，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.

【详解】,,是奇函数，,.

,,

由,，的周期为.

..

故选：C

二、多选题

9．下列选项中正确的是（    ）

A．，则

B．若，，则.

C．若，，则

D．若，则的最小值是2

【答案】BC

【分析】A选项，可举出反例；

BC选项，可根据不等式的基本性质进行推导得到；

D选项，利用基本不等式进行求解，由于等号取不到，可知无最小值.

【详解】若，则，A错误；

因为，所以，

因为，所以，B正确；

因为，所以，

因为，所以，即，C正确；

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，

由于，故等号取不到，所以无最小值.

故选：BC

10．将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为(    )

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据图象平移求出平移后函数解析式，根据正弦型函数的对称性即可求出的值．

【详解】平移后得到函数解析式为，

∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，

∴，

∴，∴．

当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．

故选：BD．

11．已知点均在圆外，则下列表述正确的有（    ）

A．实数的取值范围是

B．

C．直线与圆不可能相切

D．若圆上存在唯一点满足，则的值是

【答案】ABD

【分析】利用已知条件得到的长，即可判断选项A；利用两点之间的距离公式判断选项B；由的范围及圆心坐标判断C；由题意得，点在以线段为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，结合点在上，可得圆与圆外切，且点为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解判断D.

【详解】∵ ，

，

∴；故正确；

∵，故B正确；

∵点到的距离为点C到轴的距离，

当时，直线与圆相切，故C错误；

∵，

∴点在以线段为直径的圆上.

又∵，

∴点在圆上.

又∵点在圆：()上，

点均在圆外，

∴圆与圆外切，且点为切点，

∴，

∴，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题考查点与圆，直线与圆位置关系的判定及应用.熟记两点之间的距离公式以及圆心距与半径的关系是解决本题的关键.

12．已知直线与抛物线相交于，两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的面积为 D．

【答案】ABD

【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C、D.

【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故A正确；

因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，

又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点，，因为，两点在抛物线上，

联立方程两式相减可得，，

设的中点为，则，因为点在直线上，

解得，所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径.

因为，所以，解得，故B正确；

因为，所以，直线为，由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，

所以，故C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，，若与互相垂直，则           .

【答案】

【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.

【详解】由题设可知：，

因为与互相垂直，所以，即：，解得：，

故答案为：

14．直线与之间的距离为，则实数a等于        ．

【答案】0或/-20或0

【分析】利用两平行线间的距离公式求解.

【详解】解：方程为，

因为直线与之间的距离为，

所以，

解得或．

故答案为：0或

15．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是         ．

【答案】/

【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率．

【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，

直线

为双曲线的通径，则

由得，则，

由得，则

由得：

即

所以，

所以离心率

故答案为：

16．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为          ．

【答案】/

【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径.

【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，

连接AC和BD交于点O，

因为，，所以，，

又AC和BD交于点O，平面ABCD，所以平面ABCD，

所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，

距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H，

所以平面EBC，所以OH即为正八面体内切球半径，所以，

因为正八面体的棱长为2，

所以，，，

所以，，

因为，，所以，

即，所以正八面体内切球的表面积为：．

故答案为：

四、解答题

17．已知的三个内角所对的边分别为，且，，的面积.

（1）求边和c；

（2）求角.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）计算出的值，由，可设，，利用三角形的面积公式可求得的值，进而可得结果；

（2）由（1）及余弦定理求得a的值，利用正弦定理求得的值，再由可知为锐角，由此可求得角的值.

【详解】（1）由，及，得.

由，可设，，

所以，

得，故，；

（2）根据（1）及余弦定理得，

由正弦定理，

所以，

由，知必为锐角，

故.

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式解三角形，考查计算化简的能力，属于基础题.

18．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．

(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．

(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．

【答案】(1)详见解析(2) m为－时，截得的弦长最小，最小值为2．

【分析】（1）将直线l变形，可知直线l过定点，证明定点在圆内部；（2）利用垂径定理和弦长公式可得.

【详解】(1)证明：直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．

令 解得,

如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．

而|AC|＝ ＝<3(半径)．

∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．

(2)解:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，

此时kl·kAC＝－1，即,∴m＝－．

最小值为．

故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2．

【点睛】考查直线过定点、点与圆的位置关系以及弦长问题，解题的关键是直线系形式的转化.

19．已知函数f(x)＝，若函数f(x)的图象过点(－1，3).

（1）求k的值；

（2）若f(a)≥27，求实数a的取值范围；

（3）若函数y＝f(|x|)－b有两个零点，求实数b的取值范围.

【答案】（1）k＝1；（2）(－∞，－2]；（3）.

【解析】（1）解方程＝3得的值，即得解；

（2）解不等式≥27即得解；

（3）先求出函数在单调递减，在单调递增，求出函数的值域即得解.

【详解】（1）∵f(－1)＝3，

∴＝3，

∴k－2＝－1，解得k＝1.

（2）由（1）及题意得，f(a)＝≥27，

∴2a＋1≤－3，

解得a≤－2.

故实数a的取值范围为(－∞，－2].

（3）由（1）知，f(x)＝，

∴当x≥0时，f(|x|)＝是减函数，值域为.

∵y＝f(|x|)是偶函数，

∴当x≤0时，y＝f(|x|)是增函数，值域为.

令y＝f(|x|)－b，所以.

∴函数y＝f(|x|)－b有两个零点时， .

【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，考查函数的奇偶性的应用，考查零点问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．2021年起，部分省实行“”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如下表：

现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：

（1）求表中的值；

（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）？（结果保留整数）

（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在与内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在内的概率．

【答案】（1）；（2）54分；（3）．

【分析】（1）频率分布表中，频率之和等于即可求解；

（2）先计算等级达到级及以上的频率，设原始分数不少于分可达到，再列方程即可求解；

（3）原始得分在和内频率分别为0.10和0.15，抽取的5人中，得分在内的有2人，得分在内的有3人，再由古典概型的概率公式即可求解.

【详解】（1）∵，∴．

（2）由已知等级达到级及以上所占排名等级占比为

设原始分数不少于分可达到赋分后的C级及以上，易知

所以解得：

所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）

（3）设“抽取2人中恰好有1人原始成绩在内”

由题设可知，原始得分在和内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在内的有2人，得分在内的有3人．记得分在内2位同学为，，得分在的三位同学位，，．则从5人中任取2人，

样本空间为，

共包含10个样本点

，共包含6个样本点．

所以，

故这2个人中恰好有1人原始成绩在内的概率．

21．如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,平面平面,四边形为菱形,,与相交于点D.

(1)求证:.

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1)由已知得,再由平面平面,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以为原点,以,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量与平面的一个法向量是,再利用向量的夹角公式求解.

【详解】(1)侧面是菱形,D是的中点,

∵,∴.

∵平面平面,且平面,

平面平面,

∴平面,平面,

∴.

(2)由棱柱的定义知:在三棱柱中,平面平面,

∴平面与平面所成的锐二面角与二面角相等.

∵平面,∴.

如图,以D为原点,以,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得,,,,

∴,,,,.

设平面的一个法向量,,,

由,,得,可得.

∵平面平面,,∴平面,

∵平面的一个法向量是,

∵

即平面与平面所成锐二面角的余弦值是.

【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.

22．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.

【答案】（1）（2）证明见解析

【分析】（1）根据面积的最大值为，可知点的位置，根据离心率，可求出，可得结果；

（2）先得到点，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，通过计算，可得结果.

【详解】（1）由，

可得，

由面积的最大值为知，

，

解得，，，

∴椭圆C的方程为

（2）联立，解得

联立得.

∵直线与椭圆C交两点，

∴.

∴，且

设直线的斜率分别为，

设，

则.

又，

，

则

∴，从而始终为等腰三角形.

【点睛】关键点点睛：设直线的斜率分别为后，分别表示出，根据根与系数的关系，计算是证明的关键，属于中档题.