2022-2023学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.

【详解】令，可得；令，可得.

则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.

因为，所以椭圆的焦点在轴上.

设椭圆的方程为，则，，

所以椭圆的方程为.

故选：C.

2．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解.

【详解】由圆的方程可知，

则圆心坐标，半径为，

因为，所以点在圆的内部，

设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，

显然当最大时，弦长最小，

由圆的性质可知当时最大，

此时，

所以弦长的最小值为，

故选：D

3．已知，则的最小值（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量模长的坐标求解，结合二次函数的最小值，即可求得结果.

【详解】由题可知，，

故，

即的最小值.

故选：B.

4．已知某随机变量X的分布为

则等于（    ）

A．0.9 B．0.7 C．1.2 D．无法确定

【答案】A

【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式求.

【详解】因为，所以，

则.

故选：A.

5．现有4名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ）

A． B． C．20 D．9

【答案】B

【分析】每名同学都有5种选择，按分步乘法原理，即可解决该问题.

【详解】每位同学选一个课外知识讲座，属于可重复问题，

每名同学都有种选择，所以共有种选法.

故选：B.

6．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据全概率公式求得正确答案.

【详解】依题意，乙箱中取出的是红球的概率为.

故选：D

7．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由空间向量夹角的坐标表示求，再根据点到直线距离为即可求结果.

【详解】由题设，则，

所以，而，

故到l的距离为.

故选：C

8．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ）

A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0

【答案】C

【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a的值，再分类求出中的系数即可得出答案.

【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，

令得所有项的系数和为，或

当时，展开式中的系数为：，

当时，展开式中不含项.

故选：C.

二、多选题

9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）

A． B．与共线的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】AD

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C.

【详解】由题意可得，，，

选项A：，故，正确；

选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；

选项C：，错误；

选项D：设，则，，

所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；

故选：AD

10．已知随机变量的分布列如下表；

记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据分布列的性质，以及数学期望的公式判断AB，结合偶函数的定义判断CD，即可求解．

【详解】解：由随机变量的分布列知，所以，故B正确；

，故A错误，

函数是偶函数为事件，

满足条件的事件的的可能取值为或，

，故C正确，D错误；

故选：BC．

11．对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.

【详解】由，

当时，，，A选项错误；

当时，，即，C选项正确；

当时，，即，D选项正确；

，由二项式定理，，B选项正确.

故选：BCD

12．已知双曲线:左、右两个顶点分别是，一条渐近线过点，是双曲线上异于的任意一点，则下列说法中正确的是（    ）

A．双曲线与双曲线上有相同的渐近线

B．双曲线的离心率为

C．直线的斜率之积等于定值

D．若直线：与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为

【答案】ACD

【分析】首先利用渐近线方程经过的点得到，即可判断A、B选项；再利用斜率公式表示出的斜率之积，即可判断C选项；最后表示出，利用面积公式，即可求解D选项.

【详解】设渐近线方程为，因为渐近线经过点，所以，解得，

所以渐近线方程为，而双曲线，焦点在轴，渐近线方程为，

则得，故双曲线与双曲线上有相同的渐近线，A正确；

由A知，，则，解得，故B错误；

对于C，设，则，所以，

因为，所以，直线的斜率之积等于定值，正确；

对于D，如下图所示：设与渐近线交点分别为、

.

由图可知，，将点横坐标代入中，得点纵坐标为，则，

由面积公式得，即①，由前面可知，②，

联立①②可得，则焦距为，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知抛物线的图像过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为           .

【答案】2

【分析】由抛物线的图像过点求出，再由性质求解.

【详解】因为抛物线的图像过点，所以，则该抛物线的焦点到准线的距离为.

故答案为：

14．若，则三棱锥O—ABC的体积为           .

【答案】

【分析】根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可求得结果.

【详解】根据已知可得：，即，

又，

故△的面积；

不妨取平面的一个法向量，

则点到平面的距离，

故三棱锥O—ABC的体积.

故答案为：.

15．一盒子装有5件产品，其中有3件一等品，2件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为          .

【答案】/0.5

【分析】求出，利用条件概率求出答案.

【详解】事件为“两次均取到一等品”，故，

因为，

所以.

故答案为：

16．有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为         .

【答案】264

【分析】分四位整数中无0，有1个0，有2个0三种情况进行求解，再相加即为结果.

【详解】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择；

当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择；

当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种，

综上：96+144+24=264种选择

故答案为：264

四、解答题

17．现有4本书和3位同学，将4本书全部分给这3位同学.（用数字作答）

(1)若4本书都不相同，每位同学至少分一本书，共有多少种不同的分法？

(2)若4本书仅有两本相同，按一人2本，另两人各1本分配，共有多少种分法？

【答案】(1)36

(2)21

【分析】（1）先将书分成三组，再将学生排列好，将每组的书分别发放给学生；

（2）记这4本书分别为A、A、B、C，分分别在一组讨论即可.

【详解】（1）根据题意，每位同学至少分一本书，

则分成1、1、2三组，再进行全排列有种分组方法.

（2）记这4本书分别为A、A、B、C，

两个A在一组时，共有种分法，

两个A不在一组时，若或共有种分法，

在同一组时，共3种分法，

则总共有种分法.

18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，

(1)求与所成的角

(2)平面与平面所成的锐二面角余弦值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出异面直线的夹角；

（2）在第一问的基础上，求出两平面的法向量，从而得到锐二面角的余弦值.

【详解】（1）由，可得⊥，又平面，

故以分别为轴建立空间直角坐标系.

则，

由，

则，所以，

所以与所成的角是；

（2）由题意为平面的一个法向量，

设为平面 的一个法向量，，

由，令，则，

故，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是.

19．设某厂有甲､乙､丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的20%，30%，50%，并且各车间的次品率依次为5%，2%，3%，现从该厂这批产品中任取一件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，则此次品是由乙车间生产的概率为多少？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意利用全概率公式求解；

（2）利用条件概率公式求解即可.

【详解】（1）记事件 为“任取一件产品，恰好是次品”，事件为“取到甲车间生产的产品”，事件为“取到乙车间生产的产品”，事件为“取互丙车间生产的产品”，则

，，

所以由全概率公式得

（2）由条件概率公式得

，

所以若取到的是次品，则此次品是由乙车间生产的概率为.

20．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.

(1)求的值；

(2)若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为，可得出关于的方程，结合可求得的值；

（2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可.

【详解】（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，

整理可得，因为，解得.

（2）解：的展开式通项为，

令，可得，

所以，展开式中的常数项为，解得，

由不等式组，解得.

因为，所以，，

因此，展开式中系数最大的项为.

21．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为．

(1)求的值；

(2)记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为，求的分布列与期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式，列式求解

（2）猜对谜语的总数为0，,1，2，3，4，结合独立事件概率乘法公式，列举出这四种情况下的概率，即可列表求解.

【详解】（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，

所以，解得．

（2）设表示事件“甲在两轮中猜对个成语”，表示事件“乙在两轮中猜对个成语”，根据独立性假定，得，，，

，，，的可能取值为0，1，2，3，4，所以

，，

，

，，

的分布列如下表所示：

．

22．若椭圆和椭圆满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比．

(1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程．

(2)设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于、两点（其中点在线段上），求的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）设所求的椭圆方程为，由题意得，由此能求出椭圆方程．

（2）当射线与轴重合时，；当射线不与轴重合时，设其方程为，推导出，由此能求出的最大值和最小值．

【详解】（1）设所求的椭圆方程为，则由题意得，解得，

所要求的椭圆方程为．

（2）①当射线与轴重合时，．

②当射线不与轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考虑、在第一象限或x轴正半轴的情形．

设其方程为，设，，，，

由，解得，，

由，解得，，

，

令，则由，知，

，记，则在上是增函数，，

，

由①②知，的最大值为，的最小值为．