2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求，再求并集即可【详解】易得，故故选：A2．已知为等差数列，首项，公差，若，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；【详解】解：因为首项，公差，所以，因为，所以，解得故选：D3．若两条直线ax+2y﹣1=0与x﹣2y﹣1=0垂直，则a的值为A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【答案】C【解析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【详解】因为两条直线与垂直，所以，解得．故选：．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角的终边所过的点求得角的正弦、余弦值，再根据二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】设坐标原点为O，由角的终边经过点，则,故，则，故选：A5．过点作圆的切线，则切线方程为（    ）A． B． C． D．或【答案】C【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.【详解】由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故选：C6．若是奇函数，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.故选：C.7．设x，，则“”是“，”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用椭圆的有关性质、三角函数的定义和三角函数的同角公式，结合充分、必要条件的定义计算化简，即可得到结果.【详解】若，其轨迹为一个椭圆，则，得，令，得，所以充分性成立；由，得，有，所以必要性成立.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C．8．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意推出，继而由是等边三角形求得，再利用椭圆定义即可求得答案.【详解】由题意知，O为的中点，故，是等边三角形，即有，又P在椭圆上，故，即，即椭圆E的离心率为，故选：D9．已知M为所在平面内的一点，，且，则（    ）A．0 B．1 C． D．3【答案】D【分析】由向量加减、数乘的几何意义知为中点，根据已知求得、、，由向量数量积的定义求即可.【详解】由，则，所以共线，即为中点，如下图：又且，即，而，所以，故，则，，所以.故选：D10．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前污染物减少，那么再过后污染物还剩余（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的函数模型及已知可得，再计算后污染物剩余量.【详解】由题设，，可得，再过5个小时，，所以最后还剩余.故选：D 二、填空题11．已知均为实数.若，则         ．【答案】0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】，故，.故答案为：0.12．已知椭圆的一个焦点为，则实数k的值为          ．【答案】5【分析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【详解】∵椭圆的一个焦点是，焦点在轴上，∴，∴.故答案为：513．若直线被圆C：截得的弦长为1，则      ．【答案】【分析】确定圆心和半径，求得圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式，即可求得答案.【详解】圆C：即，圆心为，半径为1，则到直线的距离为，由于直线被圆C：截得的弦长为1，故，解得，故答案为： 三、双空题14．在平面直角坐标系xOy中，定点，点B为曲线上的动点．则线段AB长度的最小值是      ；若第一象限存在点C，使得为等腰直角三角形，且，则线段OC的最大值为      ．【答案】     1     /【分析】设，，，运用两点的距离公式三角函数的性质和两直线垂直的条件，可得，的方程，解方程可得的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值.【详解】曲线是以为圆心，1为半径的上半圆，可设，，则(当时取得最小值)；设，由等腰直角三角形，可得，即有即，①，即有，即为，②由①②解得，，或，（舍去）．则，当，即，取得最大值．故答案为：1；. 四、填空题15．无穷数列满足：，，其前n项和记为．给出下列四个结论：①；②数列单调递增；③设数列的前n项和为，则存在，使得；④若，则当时，一定有．其中，所有正确结论的序号是      ．【答案】 【分析】根据题意和基本不等式的应用即可判断①；利用作差法和数列的单调性即可判断②；由题意可得，即可判断③；利用放缩法和累加法得，即可判断④.【详解】①：，当且仅当即时等号成立；又，所以，故①正确；②：，得，由知，所以，即数列单调递增，故②正确；③：，故③错误；④：，若，则，由累加法，得，当时，，若，则，故④正确.故答案为：①②④. 五、解答题16．已知函数的最小正周期为，且的图像经过点．(1)求和m的值；(2)若函数在区间内有且仅有1个零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简的表达式，结合其周期以及函数图像过的点即可求得答案；（2）根据，确定，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，由最小正周期为，可得；由的图像经过点，则；（2）由（1）可得，当时，，因为函数在区间内有且仅有1个零点，故令，解得,即a的取值范围为.17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；（2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，因为，所以；（2）因为，，，由余弦定理，即，解得或，当时，则为钝角，不符合题意，当时，所以为锐角，符合题意，所以面积为.18．已知椭圆M：，圆N：，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为．(1)求直线l方程及椭圆M的焦距．(2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求．【答案】(1)；焦距为2(2) 【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标以及焦距，根据直线的点斜式即可求得直线方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得，根据圆的半径、弦心距以及弦长的关系可求得，即可求得答案.【详解】（1）由题意知椭圆M：，则长半轴长，短半轴长，则焦距为，其右焦点,直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为，其斜率为1，故直线l的方程为；（2）将代入中，可得，，  设，则，故；圆N：的圆心到直线的距离为，则，故.19．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值；(3)若在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)增区间为；减区间为；极小值为，无极大值；(3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；（2）根据导数与单调性的关系，解不等式，可得函数单调区间；继而求得极值；（3）将不等式整理，参变分离，继而根据其结构特征构造函数，利用导数判断其单调性，即可求得答案。【详解】（1）由题意知函数，故故，故曲线在点处的切线方程为；（2）由（1）可知：令，解得，故的单调递减区间为；令，解得，故的单调递增区间为；则为函数的极小值点，则函数极小值为，无极大值；（3）在上恒成立， 即，此时，即在上恒成立，令，则，故在上单调递增；故，故.【点睛】方法点睛：第三问根据不等式恒成立求解参数范围，可采用参变分离方法，分离出参数，然后构造函数，利用导数判断函数单调性，即可求解.20．已知椭圆E：过点，E的离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点A、B为椭圆左右顶点，过点且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可列出关于的方程，即可求得答案；（2）设直线l方程，联立椭圆方程，设，可得根与系数的关系，求出的表达式，结合根与系数关系化简计算的值，即可证明结论.【详解】（1）由题意知椭圆E：过点，E的离心率，故，且，又，故解得，故椭圆的标准方程为；（2）证明：由题意知直线l的斜率一定存在，设为k，则直线l的方程为，联立，可得，需满足，即；设，则，而，故直线的方程为，令，则，故；直线的方程为，令，则，故，不妨假设，则为负值，故，而，即，故，当时，显然；当时，同理可证明，综上可得.【点睛】难点定睛：关于直线和椭圆的位置关系中证明线段相等问题，解答时要注意联立方程，得到根与系数的关系式，然后结合求出的表达式，进行化简；难点在于计算过程十分复杂，并且基本都是含有字母参数的运算，因此要求十分仔细.21．数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等．(1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2(2)记，若，证明：；(3)若，求n的最小值．【答案】(1)②③(2)证明见解析(3)2030 【分析】（1）根据题中数列满足的要求一一判断所给数列，可得结论；（2）设数列中1，2，3出现的频数依次为，判断出的取值情况，即可证明结论；（3）设出现的频数依次为，同（2）判断的取值情况，即可由取最小值时求得n的最小值，然后分类讨论，证明此时符合题目要求即可.【详解】（1）对于①，由于，故或，不合题意；对于②，当时，存在s，t两两不相等，使得；当时，存在s，t两两不相等，使得；当时，存在s，t两两不相等，使得；符合题意；同理③也符合题意，故所有符合题目条件的数列的序号为②③；（2）证明：当时， 设数列中1，2，3出现的频数依次为，由题意知，假设，则有，（对任意），与已知矛盾，故，同理可证；假设，则存在唯一的使得，那么对于，都有，（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，故；综上可得，所以，即.（3）设出现的频数依次为，同（2）的证明，，，则；取，，得到的数列为：，下面证明该数列满足题目要求：对于，不妨令，如果，或，由于，故符合条件；②如果，或，由于，，故也符合条件；③如果，则可选取，，同样的，如果，，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也符合条件，综上，对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，即数列符合题目要求，故n的最小值为2030.【点睛】难点点睛：本题是给出了数列需满足的要求。也可以认为是数列的一个新定义，因此解答的关键是要理解这些要求，按其要求去判断解答问题；难点在于第三问的解答，设出现的频数依次为，要判断出，，进而取，求得n的最小值，继而分类讨论，证明求得的值符合题目要求.