2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文）周练五试题含答案

  成都石室中学高2023届高三上数学周练五(文科)

                                                姓名：

一、单选题

1．已知集合A满足，则所有的个数为（   ）

A．8 B．7 C．6 D．15

2．设是两个随机事件，且，则“事件相互独立”是“事件互斥”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4.在等比数列中,若,是方程的两根,则

A．          B．           C．           D．

5.网格纸上小正方形边长为,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为（    ）

A．            B．            C．              D．

6函数的单调递增区间是（    ）

A.      B.

C.       D.

7．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积最大值为2，则球O的半径为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（    ）

A． B． C． D．

9．当时，（且）恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10.已知二次函数的值域为,则的最小值为（    ）

A．1              B．2              C．3             D．4

11．已知定义在上的奇函数满足：，则关于的不等式在的解集为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

二、填空题

13．复数的共轭复数___________.

14.某校对其高三年级1200名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本.如果已知样本中女生比男生少20人，那么该年级女生人数为         .

15．已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为______.

16．若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．

三、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足，，且．

(1)求角A；

(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．

18.如图,,为圆柱的母线,是底面圆的直径,,分别是,的中点,平面．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求四棱锥与圆柱的体积比.

19.某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了100份问卷进行统计,得到相关的数据如下表：

（Ⅰ）由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关？

（Ⅱ）据了解到,全小区节能意识强的人共有350人,估计这350人中,年龄大于50岁的有多少人？

（Ⅲ）按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽5人,再从这5人中任取2人,求恰有1人年龄在20至50岁的概率.

20．已知，为椭圆的左、右焦点，点为其上一点，且​.

(1)求椭圆 的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆相交于两点，点关于坐标原点的对称点，试问的面积是否存在最大值? 若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

21.已知函数,e是自然对数的底,aR.

（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）证明:当时,是内的增函数；

（Ⅲ）当时,判断函数的零点个数，并说明原因.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：．

(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)过点的直线l与C相交于A，B两点，求的值．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】由子集与真子集的概念即可得出结果．

【详解】由题意得，集合A中必含有元素1，含有2，3，4中的部分元素，

所以满足条件的集合A有：，，，，，，，共7个．

故选：B．

2．D

【分析】由独立事件及互斥事件的概念和性质即可得到二者间的逻辑关系

【详解】由“事件相互独立”得，；

由“事件互斥”得；

由不能得到；由不能得到

所以“事件相互独立”是“事件互斥”的既不充分也不必要条件

故选：D.

3．D

【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.

【详解】由题意得是真命题，即，，

当时，符合题意；

当时，有，且，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选:D.

4．A

5．A

6.C

7．D

【分析】根据已知条件及同弧所对圆心角与圆周角的关系，再利用勾股定理及棱锥的体积公式即可求解.

【详解】设的外接圆圆心为，依题意可知为正三角形，所以圆的半径，设球O的半径为R，因为平面，所以，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的高等于，所以三棱锥，得，解得.

所以球O的半径为.

故选:D．

8．A

【分析】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.

【详解】解：依题意，，，故，

故，故，

将代入可知，，

解得，故，

故，

则.

故选：A.

9．B

【分析】由在上恒成立，得，构造函数，则在上为增函数，从而可求出实数a的取值范围.

【详解】由在上恒成立，得，

令，

则在上为增函数，

所以由，得．

又因为，

所以，

故选：B

10．C

11．D

【分析】根据函数为奇函数，求出在上的解析式，从而问题转化为：当时，解不等式：，解此不等式要借助导数来解决；当时，解不等式：．分段求解不等式即可得到答案．

【详解】∵为定义在上的奇函数

∴当时，

不等式等价于：

当时，解不等式：

令，

∴，在单调递减

∵

∴使得

∴在单调递增，在单调递减

∵

∴当时,的解集为，即的解集为；

当时，解不等式：

化简为，即，解得．

综上，不等式在的解集为．

故选：D．

12．A

【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.

【详解】∵  抛物线的方程为，

∴  ，抛物线的准线方程为，

∵ 方程可化为，

∴过定点，

设，设的中点为，则，因为，为垂足，

∴，所以，

即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

过点作准线的垂线，垂足为，则,

∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，

∴ ，

过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，

∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，

所以的最小值为，

故选：A.

13．##

【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：

14．480

15．

【分析】由，得到，再由内切圆的性质和焦半径公式得到，消去得到内切圆圆心的轨迹方程，再利用三角换元，根据三角函数的性质求解.

【详解】解：设，内切圆的半径为r，

所以，

则，

设椭圆的左右焦点为，

则，

同理，

又内切圆的性质得，

所以，

消去得，即，

又因为，

所以，

设，

则，

所以m＋n的最大值为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是内切圆性质的应用及椭圆焦半径公式的推导与应用.

16．

【分析】恒成立等价于恒成立，构造函数，即恒成立，求判断函数单调递增，则有恒成立，即，令，求导求的最大值即可求出的最小值.

【详解】解：因为对任意，恒成立，所以有恒成立；

令，即证，则有，所以在上单调递增，即有在上恒成立，即在上恒成立；

令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；所以，即.

故答案为：.

17．(1)或

(2)

【分析】（1）由可得，由正弦定理可得，即可结合角的范围求出角A；

（2）是锐角三角形，，，结合正弦定理得，由三角恒等变换得，根据B的范围讨论值域即可

（1）

因为，，且，所以，即．

在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．

（2）

因为是锐角三角形，所以，所以，又，且，所以．

由及正弦定理得，则，，

所以，

而，则，故，

所以的取值范围．

18.解：（1）证明：连结，.

分别为的中点，∴                                 .……2分

又，且.

∴四边形是平行四边形，

即                                         . ………………3分

∴.                                             ………………………4分

（2）由题，且由（1）知.

∴，∴ ，

∴. 因是底面圆的直径，得，且，

∴，即为四棱锥的高．

设圆柱高为，底半径为，则，

∴：.         ………………………………………………………………12分

 19.解（Ⅰ）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大,所以节能意识强弱与年龄有关                                     ……2分

（Ⅱ）年龄大于50岁的有（人）            ……5分（列式2分，结果1分）

（Ⅲ）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人）          

年龄大于50岁的4人                                                         ……8分

记这5人分别为A，B1，B2，B3，B4.从这5人中任取2人，共有10种不同取法           …9分

设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，

则A中的基本事件有4种：完全正确列举                                         …11分

故所求概率为                                                 ……12分

20.（1）由题意设椭圆的标准方程为 ，

因为点 为椭圆上一点，且，

所以，解得

所以椭圆的标准方程为 .

（2）设直线，，

由，得，

，

则，

设的面积为，则

，

令，则，

令（），则，

所以在上为增函数，

所以，

所以的最大值为，此时，

所以存在当 时，即直线的方程为，的面积有最大值，其最大值为 3 .

21.解：(Ⅰ) 当时，，，………………………1分

     ，，                          

     曲线在处的切线方程为，即. …………………… 2分

(Ⅱ) 由，得，

     令，当时，， ……………………………………………3分

     ，而和均是内的增函数，

     也是内的增函数，当时，则，…………………………5分

     可知是内的增函数，当时，有，即，

     故当时，函数是内的增函数.      ………………………………………6分

（Ⅲ）当时，令，   

      ，令，，

      由(Ⅱ)可知也是内的增函数，且有，

      当时，，在内单减；

      当时，，在内单增………………………………………………8分

      由在内单减，且，

根据零点存在定理，存在唯一，，

又，同理，存在唯一，. ………………………………9分

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，则，

故是在内的唯一零点.                               

由在内单增，且，

根据零点存在定理，存在唯一，，

故是在内的唯一零点.                  

由在内单增，且，

根据零点存在定理，存在唯一，，

故是在内的唯一零点.                            

        综上，在共有三个零点，分别为.  ………………………………12分

22．(1)；

(2)

【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线方程，由参数的几何意义求弦长．

（1）

由于，消t得，即，

由得，∴曲线C的直角坐标方程是：

（2）

将直线l: 化为标准形式（为参数），

代入，并化简得

，设A，B对应参数为，，，,

所以

23．(1)

(2)

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

（1）

因为，

所以等价于，或，或，

解得或或，所以，即不等式的解集为．

（2）

因为，当且仅当时等号成立；

所以函数的最小值为，

由已知可得，所以或，

解得或，即a的取值范围．