2023届上海市大同中学高三下学期5月月考数学试题含解析

这是一份2023届上海市大同中学高三下学期5月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市大同中学高三下学期5月月考数学试题 一、填空题1．集合，，则______．【答案】【分析】直接计算交集得到答案.【详解】，，则.故答案为：.2．已知为虚数单位，复数满足，则________.【答案】1【分析】利用复数的四则运算求出，再求其模．【详解】因为，所以，则.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．3．函数的最小正周期为______．【答案】/【分析】直接根据周期公式计算得到答案.【详解】函数的最小正周期为.故答案为：.4．的展开式中的常数项为______．【答案】70【分析】利用二项展开式的通项即可求得结果.【详解】的展开式的通项为，令得，，故常数项为，故答案为：70.5．已知，且，则的最大值为________.【答案】【分析】由题意结合均值不等式即可求得xy的最大值.【详解】由均值不等式可得：，求解不等式可得：，当且仅当时等号成立.即的最大值为.故答案为．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，由基本不等式求最大值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．抛物线的准线方程为__________．【答案】【分析】抛物线的标准形式为∴抛物线的准线方程为故答案为:7．首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为______．【答案】【分析】根据等比数列前项和公式即可求解.【详解】由由等比数列前项和公式可得 ，当 趋于无穷大的时候，的各项和为.故答案为：8．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是______．【答案】【详解】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；故答案为【解析】圆锥体的表面积．9．已知两个随机变量X、Y，其中，，若，且，则______．【答案】/【分析】确定得到，确定，再根据得到答案.【详解】，则，，故，，，故，.故答案为：.10．已知甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球．若先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则在第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为______．【答案】【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案.【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为，取到甲袋，乙袋的事件分别为，，则，，则.故答案为：.11．函数，的值城为______．【答案】【分析】确定，确定，利用二项式定理展开，确定函数为偶函数且在上单调递增，计算得到值域.【详解】，设，，为偶函数，不妨取，函数在上单调递增，故，，故函数值域为.故答案为：.12．已知平面向量，，，满足，，则的取值范围是______．【答案】【分析】建立直角坐标系，在直线，上，取，，根据向量的运算确定的轨迹，确定圆心和半径，结合点到直线的距离得到范围.【详解】如图所示的平面直角坐标系中，设，，，不妨取在第一象限，则在直线，上，，，取，，则，，故，故在如图所示的关于轴对称的两段圆弧上，取在第一象限，则，，故，圆的半径为，圆心到直线的距离为，，的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了轨迹方程，向量的运算，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立坐标系，确定的轨迹，将题目转化为圆上的点到直线的距离是解题的关键. 二、单选题13．若,则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】D【详解】∵∴设代入可知均不正确对于，根据幂函数的性质即可判断正确故选D14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是  A． B． C． D．【答案】C【详解】A在定义域内不是增函数;B不是奇函数;C满足要求；D是偶函数．15．设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.【详解】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，，即，或，即，当时，有，即，是严格递增数列，当时，有，即，是严格递增数列，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件故选：C16．已知定义在上的可导函数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由，得，记，则有，即为偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以由，得，即，所以，即，解得，故选：A. 三、解答题17．直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角． 【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则,，，   ，             由得，即解得．                  (2) 解法一：此时 设平面的一个法向量为由得       所以                 设直线与平面所成的角为则     所以直线与平面所成的角为    解法二：联结，则，，平面         平面所以是直线与平面所成的角； 在中，   所以      所以所以直线与平面所成的角为点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为或相减为，且满足.18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若的面积，求a+c值；（2）若2cosC（+）=c2，求角C．【答案】（1）5（2）【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c的值．（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．【详解】解：（1）∵的面积，∴=acsinB=ac，可得：ac=6，∵由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18，解得：a+c=5．（2）∵2cosC（+）=c2，∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsinC=sinC，∵sinC≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴C=．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下： 未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．(1)求列联表中的数据p，q，x，y的值；(2)是否有95%的把握认为注射此种疫苗有效？说明理由；(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取10只进行病例分析，然后从这10只小白鼠中随机抽取4只对注射疫苗情况进行核实，记X为4只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求X的分布与期望．附：，其中．0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)60,40,100,100；(2)有95%的把握认为注射此种疫苗有效，理由见解析；(3)分布列见解析，. 【分析】（1）由统计表列出方程，即可求值；（2）利用列联表求出的值，对照临界值得出结论；（3）写出X的取值，分别求出相应的概率，进而列出分布列，利用数学期望公式求出.【详解】（1）因为从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，所以，解得，则，，；（2）零假设为：注射此种疫苗无效，由，解得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有95%的把握认为注射此种疫苗有效；（3）因为在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，所以抽取的10只小白鼠中，未注射疫苗的有6只，注射疫苗的有4只，由题意X的取值为0，1，2，3，4，，，，X的分布列为X01234P.20．已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．【答案】(1)(2)详见解析；(3) 【分析】（1）利用椭圆离心率定义即可求得该椭圆的离心率；（2）利用直线与椭圆位置关系即可求得过点P的椭圆C的切线方程，进而证得结论成立；（3）先求得直线的方程，求得弦的长度，进而求得△的面积表达式，进而求得△的面积的最小值．【详解】（1）椭圆中，，则，则，则椭圆的离心率为（2）当切线斜率存在时，其方程可设为，由，整理得，则，则此时方程的根为，则切点横坐标，切点纵坐标，则，，则切线方程为，整理得；当切线斜率不存在时，其切点为或，切线方程为，满足.综上，点是椭圆C上一点时， 过点P的椭圆C的切线方程为（3）设，， 则椭圆C在点的切线方程分别为，，又在两条切线上，则，，则直线的方程为，即由整理得，，则，则，又点M到直线的距离，则△的面积为令，则，，则，令，，则恒成立，则在上单调递增，则当且仅当即点M坐标为时等号成立，则△的面积的最小值为.  21．设函数，．(1)记，，，．证明：数列为等差数列；(2)设．若对任意均有成立，求m的最大值；(3)是否存在正整数使得对任意，，都有成立?若存在，求的最小可能值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见详解；(2)；(3). 【分析】（1）对条件两边取倒数后即可得证；（2）构造函数，，则问题转化为恒成立，又，故判断在单调性即可求出m的最大值;（3）首先证明，令分别取得，要使存在正整数使得对任意，，都有成立，只需，从而求出的最小可能值.【详解】（1）由题，，两边取倒数得，，即，所以数列为首项是，公差是的等差数列.（2）令，，则恒成立.,当时，，所以在单调递增.又，所以则成立.故.当时，当，，故在单调递减；当，，故在单调递增.故与矛盾.综上，，所以m的最大值是.（3）令，，则，所以在单调递减，又，所以，即.令分别取得，，，，累加得，即整理得要使存在正整数使得对任意，，都有成立，只需，即，化简得，所以.又且为正整数，故.所以存在正整数使得对任意，，都有成立，的最小可能值是.【点睛】结论点睛：导数解决不等式问题中，常用的不等关系有：①；②；③；④.