人教A版 (2019)2.4 圆的方程第2课时当堂检测题

2.5.1　直线与圆的位置关系

第2课时　直线与圆的方程的应用

课后·训练提升

基础巩固

1.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为(　　)

A.2 B.1 

C. D.

答案:B

解析:设点P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=142上,即圆心C(-5,12),半径r=14,|OC|==13(O为坐标原点).x2+y2=[]2=|OP|2,

又|OP|的最小值为r-|OC|=14-13=1,故x2+y2的最小值为1.

2.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　)

A.6-2 B.8 C.4 D.10

答案:B

解析:点A关于x轴的对称点为A'(-1,-1),点A'与圆心(5,7)的距离为=10.

又圆C的半径为2,故所求最短路程为10-2=8.

3.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(　　)

A.- B.

C.- D.

答案:A

解析:∵∠POQ=120°,圆x2+y2=1的半径为1,

∴点O到直线y=kx+1的距离d=.

由d=,得k=±.

4.(多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,下列说法正确的是(　　)

A.的最大值为

B.的最小值为0

C.x2+y2的最大值为+1

D.x+y的最大值为3+

答案:ABD

解析:如图,依题意知,点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,

所以圆心C(2,1).

因为表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则=1,

解得k=0或k=.所以∈,max=,min=0,故A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,因为圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=,所以x2+y2的最大值为6+2,故C错误;令x+y=t,即y=-x+t,所以x+y表示直线y=-x+t与圆有公共点时在y轴上的截距,则当直线x+y=t与圆x2+y2-4x-2y+4=0相切时,有=1,解得t=3±.因此3-≤t≤3+,所以x+y的最大值为3+,故D正确.故选ABD.

5.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是　　　　　　　. 

答案:3x-2y-3=0

解析:易知所求直线过圆心且与AB垂直,已知圆的圆心坐标为(1,0).

设所求直线方程为3x-2y+c=0,则3×1-2×0+c=0,c=-3.故所求直线方程为3x-2y-3=0.

6.已知实数x,y满足x2+y2=1,则的取值范围为　　　　　　　　. 

答案:

解析:令k=,则k可看作圆O:x2+y2=1上的一个动点P(x,y)与点A(-1,-2)连线的斜率.

直线PA的方程为kx-y+k-2=0.

由直线与圆有公共点的条件,得圆心(0,0)到直线kx-y+k-2=0的距离小于或等于半径,即≤1,解得k≥,即k的取值范围为.

7.台风中心从M地以每小时30 km的速度向西北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险地区,城市N在M地正西方向60 km处,则城市N处于危险区内的时长为　　　　　　　. 

答案:2 h

解析:如图所示,以点M为坐标原点建立平面直角坐标系,则点N(-60,0),以点N为圆心,30为半径作圆,则圆的方程为(x+60)2+y2=2700.当台风进入圆内,城市N处于危险区,又台风的运动轨迹为y=-x,设直线与圆的交点为A,B,圆心N到直线的距离d==30,则|AB|=2=2=60km,

所以时间t==2h.

8.求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.

解:设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.

联立方程组

得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.

因为所求圆与直线y=x相切,所以Δ=0,

即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,

故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.

9.设有半径长为3 km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东前进而乙向北前进,甲离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定,且其速度比为3∶1,问:甲、乙两人在何处相遇?

解:如图所示,

以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴,南北方向为y轴建立平面直角坐标系.

设甲向东走到D处后改变前进方向,到C处恰好与乙相遇,CD所在直线的方程为=1(a>3,b>3),乙的速度为v,则甲的速度为3v.

依题意,有解得

所以乙向北前进3.75km时甲、乙两人相遇.

能力提升

1.已知圆C与直线x+y+3=0相切,直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则圆C的方程为(　　)

A.x2+y2-2y=2 B.x2+y2+2y=2

C.x2+y2-2y=1 D.x2+y2+2y=1

答案:D

解析:∵直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,

∴直线mx+y+1=0始终过圆C的圆心,而直线mx+y+1=0恒过定点(0,-1),则圆心C的坐标为C(0,-1).

又圆C与直线x+y+3=0相切,

∴圆C的半径r=.

∴圆C的方程为x2+(y+1)2=2,即x2+y2+2y=1.

2.如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于点A,B.一个半径为的圆C,圆心C从点开始以每秒个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为(　　)

A.6 s B.6 s或16 s

C.16 s D.8 s或16 s

答案:B

解析:设当圆C与直线l相切时,圆心C坐标为(0,m).又直线l的方程为4x-3y-12=0,则圆心C到直线l的距离,得m=-或m=-,即圆心坐标为.

故该圆运动的时间为=6(s)

或=16(s).

综上所述,该圆运动的时间为6s或16s.

3.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是(　　)

A.3- B.3+

C.3- D.

答案:A

解析:由题意得直线AB的方程为x-y+2=0,圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0),圆心到直线AB的距离d=,所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为-1,所以△ABC面积的最小值为×|AB|××2=3-.

4.(多选题)若关于x的方程=ax+a-2有两个不同的实数根,则实数a的取值可以是(　　)

A.2 B. C. D.3

答案:AB

解析:由题意得,曲线y=与直线y=ax+a-2有两个交点,

即曲线(x-2)2+y2=4(y≥0)与直线y=ax+a-2有两个交点,如图所示.

当直线y=ax+a-2经过原点O时,a=2;当直线y=ax+a-2与曲线(x-2)2+y2=4(y≥0)相切时,由=2,解得a=或a=0(舍去).故a的取值范围是[2,),故选AB.

5.已知M={(x,y)|y=,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠⌀,则实数b的取值范围是　　　　　　　. 

答案:(-3,3]

解析:y=,y≠0等价于x2+y2=9(y>0),所以集合M表示圆x2+y2=9在x轴上方的部分,集合N表示直线y=x+b,如图,

当直线与圆相切时,有=3,解得b=3,或b=-3(舍去).

当直线过点(3,0)时,有3+b=0,解得b=-3.

结合图形可求得,当M∩N≠⌀时,有-3<b≤3,即实数b的取值范围为(-3,3].

6.已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0.当m在实数范围内变化时,l1与l2的交点P恒在一个定圆M上,则定圆M的方程是　　　　　　　　　　,直线l3:2x-y-1=0与圆M相交于点A,B,则弦长|AB|=　　　　　. 

答案:(x-1)2+

解析:由题意可得,直线l1恒过原点O(0,0),

直线l2恒过定点A(2,1),且l1与l2始终垂直,所以交点P即为垂足,

即PA⊥PO,所以点P在以OA为直径的圆上,

故定圆M的方程为(x-1)2+.

因为点M到直线l3的距离d=,

所以弦长|AB|=2.

7.如图,一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处的岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)

解:如图,以O为原点,东西方向为x轴建立平面直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),

圆O方程为x2+y2=252.

直线AB方程为=1,

即3x+4y-120=0.

设点O到直线AB距离为d,

则由点到直线的距离公式得d==24<25,

所以外籍轮船能被海监船监测到.

设监测时间为t,则t=(h).

所以外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5h.