广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题训练提升新人教版选择性必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时　用空间向量研究距离问题

课后·训练提升

基础巩固

1.在三棱锥O-ABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.若OA=1,OB=2,OC=2,则点A到直线BC的距离为(　　)

A. B.

C. D.3

答案:B

解析:如图,建立空间直角坐标系,则由题意可知,A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),

所以=(-1,2,0),=(0,-2,2).

取a==(-1,2,0),u==(0,-),

所以点A到直线BC的距离d=.

2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为(　　)

A. B.

C. D.

答案:D

解析:如图,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0),

所以=(-1,0,1),=(0,1,-1),.

因为,且直线AD1与MN不重合,所以MN∥AD1.

又MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.

所以MN到平面ACD1的距离即为点M到平面ACD1的距离.

设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,

可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.

又,

所以点M到平面ACD1的距离d=.

所以直线MN到平面ACD1的距离为.

3.(多选题)如图所示,在三棱锥S-ABC中,△ABC为等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.点D在线段SC上,且SD=SC,点E为线段SB的中点,以线段BC的中点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,过点O作SA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　)

A.直线CE的一个方向向量为

B.点D到直线CE的距离为

C.平面ACE的一个法向量为(,3,-2)

D.点D到平面ACE的距离为1

答案:ABD

解析:依题意,S(,0,3),A(,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),E.

由SD=SC,得D,-,2,∵==,故A正确;

=,2,=(-,-1,0),=-,

故点D到直线CE的距离d=,故B正确;

设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,

则

令z=-2,则n=(-,3,-2)为平面ACE的一个法向量,故C错误;

而=,2,故点D到平面ACE的距离d1==1,故D正确.故选ABD.

4.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=　　　　　. 

答案:2

5.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离是　　　　　. 

答案:

解析:如图,以AB的中点O为原点,建立空间直角坐标系,

则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),

所以=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),

则

令y=1,则x=-1,z=-1.

所以n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.

故点D到平面ACE的距离d=.

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别为AB,CC1的中点,则点D到直线GF的距离为　　　　　. 

答案:

解析:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),

所以=(1,-1,-1),=(1,1,0).

取a==(1,1,0),u=,

所以点D到直线GF的距离为.

7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,CD的中点,则点D到直线A1C1的距离为　　　　　,直线BD到平面EFD1B1的距离为　　　　　. 

答案:

解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),D1(0,0,1),F0,,0,B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1),

所以=(1,0,1),=(-1,1,0).

取a==(1,0,1),u==-,0,

所以点D到直线A1C1的距离为.

因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD.

又EF⊂平面EFD1B1,BD⊄平面EFD1B1,

所以BD∥平面EFD1B1.

所以BD到平面EFD1B1的距离即为点D到平面EFD1B1的距离.

因为=(0,0,1),=0,,-1,=(1,1,0),

设平面EFD1B1的法向量为n=(x,y,z),

则所以

令y=2,则x=-2,z=1.

所以n=(-2,2,1)为平面EFD1B1的一个法向量.

所以点D到平面EFD1B1的距离d=.

所以直线BD到平面EFD1B1的距离为.

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面A1BC1的距离.

解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),

所以=(-4,6,0),=(0,6,-3),=(0,6,0).

设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),

则

即

令x=3,则y=2,z=4.

所以n=(3,2,4)为平面A1BC1的一个法向量.

所以点B1到平面A1BC1的距离d=.

9.在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.

解:如图,以AD的中点O为原点,建立空间直角坐标系,

则由题意可知,A-,0,0,B,0,,C0,,0,D,0,0,

所以=,0,=,0,,=(1,0,0).

设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,

则

令y=-1,则x=,z=-3.所以n=(,-1,-3)为平面ABC的一个法向量.

所以点D到平面ABC的距离为.

能力提升

1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为(　　)

A. B.

C. D.1

答案:A

解析:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,),B1(0,1,),

所以=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则

令x=-,则y=0,z=1.

所以n=(-,0,1)为平面A1BC的一个法向量.

故点B1到平面A1BC的距离d=.

2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为(　　)

A.2 B.

C. D.

答案:D

解析:因为G在棱A1B1上,A1B1∥EF,A1B1⊄平面D1EF,EF⊂平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,即点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离.

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),所以=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,0,-1),设平面D1EF的法向量n=(x,y,z),则

取x=1,则z=2,于是n=(1,0,2)是平面D1EF的一个法向量.

所以点A1到平面D1EF的距离d=.

即点G到平面D1EF的距离为.

3.(多选题)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是(　　)

A. B. 

C.2 D.

答案:CD

解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),

设P(0,t,0),0<t<3,

所以=(-3,t,0),=(-3,0,3),=(0,3,0),

设n1=(x1,y1,z1)为平面AD1P的法向量,

则有

令y1=3,可得n=(t,3,t),则点B到平面AD1P的距离为d=,

因为0<t<3,

所以距离的范围是(,3),故选CD.

4.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:如图所示建立空间直角坐标系,则D1(0,2,2),E(2,1,0),C(2,2,0),=(2,-1,-2),设=t=(2t,-t,-2t),0≤t≤1,则P(2t,2-t,2-2t),

设点P在平面ABCD上的投影为P'(2t,2-t,0),则PP'∥CC1,则点P到直线CC1的距离d=P'C,所以d=,当t=时,dmin=.

5.在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,则点B到平面OCD的距离为　　　　　. 

答案:

解析:在平面ABCD内过点A作AP⊥CD于点P,以A为原点,AB,AP,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

则B(1,0,0),P0,,0,D-,0,O(0,0,2),

所以=0,,-2,=-,-2,=(1,0,-2).

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),

则

令z=1,则x=0,y=2.

所以n=(0,2,1)为平面OCD的一个法向量.

所以点B到平面OCD的距离为.

6.如图,在四棱锥S-ABCD中,AD∥BC,且AD⊥CD,平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2,E为BS的中点,CE=,AS=.求点C到平面SAB的距离.

解:因为平面CSD⊥平面ABCD,平面CSD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD,

所以AD⊥平面CSD.

又AD∥BC,

所以BC⊥平面CSD.

所以△BCS与△ADS均为直角三角形.

在Rt△BCS中,因为E为BS的中点,CE=,

所以BS=2,

所以BC==2.

在Rt△ADS中,DS=.

如图,以S为原点,建立空间直角坐标系,

则S(0,0,0),C(0,2,0),B(0,2,2),A(,0,1),

所以=(,0,1),=(0,2,2),=(0,2,0).

设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),

则

令x=1,则y=,z=-.

所以n=(1,,-)为平面SAB的一个法向量.

所以点C到平面SAB的距离为.

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=1.在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

解:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以=(1,1,-2),=(0,2,-2).

假设线段PA上存在点M满足题意,

设M(0,0,z0),0≤z0≤2,平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则

所以取z=1,则x=1,y=1.

所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.

又=(0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=(2-z0).

由(2-z0)=,可得z0=1.

所以点M的坐标为(0,0,1),此时M为线段PA的中点.

故当M为线段PA的中点时,点M到平面PCD的距离为.