第22讲 导数的综合应用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

这是一份第22讲 导数的综合应用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版），共19页。学案主要包含了2022年全国乙卷，2022年全国甲卷，2022年新高考2卷，2021年甲卷理科，2021年新高考1卷等内容，欢迎下载使用。
第22讲 导数的综合应用

1. 利用导数证明不等式
(1) 构造法：证明f(x)0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若00,f(x)单调递增f(x)≥f(1)=e+1−a，
若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(−∞,e+1]
(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设x10
下面证明x>1时，exx−xe1x>0,lnx−12(x−1x)1，
则g'(x)=(1x−1x2)ex−(e1x+xe1x⋅(−1x2))=1x(1−1x)ex−e1x(1−1x)
=(1−1x)(exx−e1x)=x−1x(exx−e1x)
设φ(x)=exx(x>1),φ'(x)=(1x−1x2)ex=x−1x2ex>0
所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x0,所以g'(x)>0
所以g(x)在(1,+∞)单调递增
即g(x)>g(1)=0,所以exx−xe1x>0
令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1ℎ'(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x20，
因为g'(x)为连续不间断函数，
故存在x0∈(0,+∞)，使得∀x∈(0,x0)，总有g'(x)>0，
故g(x)在(0,x0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，
故ℎ(x)在(0,x0)为增函数，故ℎ(x)>ℎ(0)=−1，与题设矛盾.
若0