2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是(    )
A. 2023 B. −2023 C. 12023 D. −12023
2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. (4ab)2=8a2b2 B. 2a2+a2=3a4
C. a6÷a4=a2 D. (a+b)2=a2+b2
4. 九(1)班30名同学在一次测试中，某道题目(满分4分)的得分情况如表：
得分/分
0
1
2
3
4
人数
1
3
4
14
8
则这道题目得分的众数和中位数分别是(    )
A. 8，3 B. 8，2 C. 3，3 D. 3，2
5. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输x kg货物，则可列方程为(    )
A. 500x=800x+60 B. 500x=800x−60 C. 500x+60=800x D. 500x−60=800x
6. 如图，直线a//b，将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1=15°，那么∠2的大小为(    )


A. 60° B. 55° C. 45° D. 35°
7. 如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为(    )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 2
8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=4，BC=4 3，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒 3个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为t s，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是(    )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次.将数据274000000用科学记数法可表示为______ ．
10. 因式分解：3x2−9x=______．
11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有______ 个.
12. 若关于x的一元二次方程x2+3x−a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处，若OA=8，OB=10，则点D的坐标是______ ．


14. 如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD=CE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N.若BN=CN，AM=4，BM=5，则AC的长为______ ．
15. 如图，在△ABC中，BA=BC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数y=kx(x>0)的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若点E为AC的中点，BD=2AD，BF−CF=3，则k的值为______ ．


16. 如图，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，连接AM，将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，在AM，AN上分别截取AE，AF，使AE=AF=BC，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG并延长交BC于点H.若AM=253，CH=2，则AG的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1x+2+1)÷x2+6x+9x2−4，其中x=4．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．

19. (本小题10.0分)
在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时，某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动.评比结果共分为四项：A.非凡创意；B.魅力色彩；C，最美设计：D.无限潜力.参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项，活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了______ 名学生．
(2)请补全条形统计图．
(3)本次评比活动中，全校有800名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“A.非凡创意”奖的学生人数．
20. (本小题10.0分)
二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A.惊蛰”“B.夏至”“C.白露”“D.霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
(1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是______ ．
(2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B.夏至”的概率．
21. (本小题10.0分)
某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3m，即BC=3m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC=∠BCE=90°，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°(若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE=60°)，为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即CD=1m，求遮阳棚的宽度AB.(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.73)

22. (本小题10.0分)
如图，直线AB与反比例函数y=kx(x−94．
故答案为：a>−94．
根据判别式的意义得到Δ=32−4×1×(−a)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0)的图象上，
∴k=1×2b=(1+a)×b，
解得：a=1，
∴CH=2a=2，
∴BA=BC=BH+CH=3+2=5，
在Rt△ABH中，BH=3，BA=5，
由勾股定理得：AH=√BA2−BH2=4，
∴点A的坐标为(1,4)，
∴k=1×4=4．
故答案为：4．
过点A作AH⊥x轴于H，先证EF为△AHF的中位线得AH=2EF，CF=HF，再根据BF−CF=3得出BH=3，然后根据AH⊥x轴，BD=2AD得OB=2OH，进而可求出OH=1，OB=2，BH=3，设CF=HF=a，EF=b，则AH=2EF=2b，CH=2a，点A(1,2b)，点E(1+a,b)，进而可得k=1×2b=(1+a)×b，由此可得a=1，则CH=2a=2，BA=BC=5，最后在Rt△ABH中由勾股定理得AH=4，由此得点A(1,4)，进而可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．

16.【答案】407或35 224 
【解析】解：∵将△ADM绕点A顺时针旋90°得到△ABN，
∴AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，
如图，连接DE，BF，

∵AE=AF=BC，FN=AN−AF，EM=AM−AE，
∴FN=EM，
在△BFN和△DEM中，
BN=DM∠FNB=∠EMDFN=EM，
∴△BFN≌△DEM(SAS)，
∴BF=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，AB=AD=BC，
∴AF=AB，AE=AD，
∴△ABF和△AED都是等腰三角形，
∴∠ABF=∠AFB=12(180°−∠BAF)，∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAE)，
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED，
∵AF=AE，∠MAN=90°，
∴△AFE为等腰直角三角形，
∴∠AEG=∠AFG=45°，
∵∠GDE=∠ADE−∠ADB=∠ADE−45°，
∠GFB=∠AFB−∠AFG=∠AEB−45°，
∴∠GFB=∠GDE，
在△GFB和△GDE中，
∠BGE=∠EGD∠GFB=∠GDEBF=DE，
∴△GFB≌△GDE(AAS)，
∴FG=DG，BG=EG，
在△AFG和△ADG中，
AF=ADFG=DGAG=AG，
∴△AFG≌△ADG(SSS)，
∴∠FAG=∠DAG，即∠DAH=∠NAH，
∵AD//BC，
∴∠DAH=∠AHN，
∴∠AHN=∠NAH，
∴AN=NH=AM=253，
设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH−BH=253−x，
在Rt△ABN中，AN2=BN2+AB2，
∴(253)2=(253−x)2+(x+2)2，
解得：x1=6，x2=13，
∴BH=6或13，
如图，过点G作PG//BC，交AB于点P，

∴△APG∽△ABH，
∴APAB=PGBH，即APPG=ABBH，
∵PG//BC，
∴∠GPB=180°−∠PBH=180°−90°=90°，
∵PBG=45°，
∴∠PGB=90°−∠PBG=45°=∠PBG，
∴PG=PB，
①当BH=6时，AB=BC=BH+CH=8，
∴APPG=ABBH=86=43，
∴设AP=4a，PG=3a=PB，
∵AB=AP+PB=8，
∴4a+3a=8，
解得：a=87，
 在Rt△APG中，AG= AP2+PG2= (4a)2+(3a)2=5a=407；
②当BH=13时，AB=BC=BH+CH=73，
∴APPG=ABBH=7313=7，
∴设AP=7b，PG=b=PB，
∵AB=AP+PB=73，
∴7b+b=73，
解得：b=724，
在Rt△APG中，AG= AP2+PG2= (7b)2+b2=5 2b=35 224．
综上，AG的长为407或35 224．
故答案为：407或35 224．
由旋转的性质得AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，连接DE，BF，由等线段减等线段相等可得FN=EM，于是可通过SAS证明△BFN≌△DEM，得到BF=DE，易得AF=AB，AE=AD，由三角形内角和定理可得∠ABF=∠AFB=12(180°−∠BAF)，∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAE)，由∠DAE=∠BAF得到∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED，易得△AFE为等腰直角三角形，根据等角减等角相等可知∠GFB=∠GDE，于是可通过AAS证明△GFB≌△GDE，得到FG=DG，BG=EG，进而可通过SSS证明△AFG≌△ADG，得到∠DAH=∠NAH，由平行线的性质可得∠AHN=∠NAH，则AN=NH=AM=253，设BH=x，则AB=BC=x+2，BN=253−x，在Rt△ABN中，利用勾股定理建立方程，求得x1=6，x2=13，即BH=6或13，过点G作PG//BC，交AB于点P，易得△APG∽△ABH，由相似三角形的性质得APPG=ABBH，易得△PBG为等腰直角三角形，PG=PB，分两种情况讨论：①当BH=6时，AB=BC=8，则APPG=ABBH=43，进而可设AP=4a，PG=3a=PB，由AB=AP+PB=8，解得a=87，在Rt△APG中，利用勾股定理即可求出AG的长；②当BH=13时，AB=BC=73，则APPG=ABBH=7，进而可设AP=7b，PG=b=PB，由AB=AP+PB=8，解得b=724，在Rt△APG中，利用勾股定理即可求出AG的长．
本题考查了正方形的性质、图形旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．

17.【答案】解：(1x+2+1)÷x2+6x+9x2−4
=x+2+1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+3)2
=x+3x+2⋅(x+2)(x−2)(x+3)2
=x−2x+3，
当x=4时，原式=4−24+3=27． 
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EDO=∠OBF，
∵O是BD中点，
∴BO=DO，
∵∠EOD=∠BOF，
在△DEO和△BFO中，
∠EDO=∠OBFDO=BO∠EOD=∠BOF，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形． 
【解析】首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可．
此题考查了菱形的判定、全等三角形的判断和性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用，熟练掌握菱形的判定及性质定理是解本题的关键．

19.【答案】100 
【解析】解：(1)20÷20%=100(名)，
故答案为：100；
(2)样本中获得“B.魅力色彩”的人数为：100−8−48−20=24(名)，
补全条形统计图如下：

(3)800×8100=64(人)，
答：全校有800名学生中获得“A.非凡创意”奖的学生大约有64人．
(1)从两个统计图可知，样本中获得“D.无限潜力”的有20人，占调查人数的20%，由频率=频数总数可求出调查人数；
(2)求出样本中获得“B.魅力色彩”的人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中获得“A.非凡创意”奖的学生所占的百分比，估计总体中获得“A.非凡创意”奖的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．

20.【答案】14 
【解析】解：(1)共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A.惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是14，
故答案为：14；
(2)用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B.夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B.夏至”的概率为612=12．
(1)共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A.惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
(2)用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法活树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．

21.【答案】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，

∴∠DFB=∠DFA=90°，
∵∠ABC=∠BCE=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BC=DF=3m，CD=BF=1m，AB//CE，
∴∠BAD=∠ADE=60°，
在Rt△ADF中，AF=DFtan60∘=3 3= 3(m)，
∴AB=AF+BF=1+ 3≈2.7(m)，
∴遮阳棚的宽度AB约为2.7m． 
【解析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据垂直定义可得∠DFB=∠DFA=90°，从而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得BC=DF=3m，CD=BF=1m，AB//CE，从而可得∠BAD=∠ADE=60°，再在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵OC=2OD，△ACD的面积是6，
∴S△AOC=4，
∴‖k‖=8．
∵图象在第二象限，
∴k=−8，
∴反比例函数解析式为：y=−8x．
(2)∵点A(−2,m)，B(n,2)在y=−8x的图象上，
∴A(−2,4)，B(−4,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
−2k+b=4−4k+b=2，解得k=1b=6，
∴直线AB的解析式为y=x+6，
∵AC//y轴交x轴于点C，
∴C(−2,0)，
∴S△ABC=12×4×2=4．
设直线AB上在第一象限的点P(m.m+6)，
∴S△PAC=12×4×(m+2)=2S△ABC=8，
∴2m+4=8，
∴m=2，
∴P(2,8)． 
【解析】(1)根据OC=2OD可得三角形面积之比，计算出△AOC的面积，面积乘2即为‖k‖，解析式可得．
(2)根据点的坐标求出直线AB的解析式为y=x+6，设符合条件的点P(m.m+6)，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．

23.【答案】(1)证明：连接OD，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DF⊥BC，
∴∠F=90°，
∵∠EAD+∠BDF=180°．
∴∠BDF=∠BAD，
∴∠ABD=∠DBF，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBF，
∴OD//BF，
∵BF⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是半径，
∴EF为⊙O的切线．
(2)解：连接AC，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DF⊥BC，
∴AC//EF，
∴∠E=∠BAC=∠BDC，
设半径为r，则OE=10−r，
在Rt△EOD中，
sinE=sin∠BDC=23，即r10−r=23，
解得r=4，
∴⊙O的半径为4． 
【解析】(1)连接OD，证明OD//BF即可证明EF为⊙O的切线．
(2)连接AC，则AC//EF，即可得出∠E=∠BAC=∠BDC，设半径为r，在Rt△EOD中，利用锐角三角函数即可解答．
本题他考查切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．

24.【答案】解：(1)设每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b，
∴8k+b=220014k+b=1600，
解得k=−100b=3000，
∴y与x的函数解析式为y=−100x+3000；
(2)设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，
根据题意得，w=(x−6−2)(−100x+3000)=−100x2+3800x−24000=−100(x−19)2+12000，
∵a=−100