初一数学暑假讲义 第13讲.相交线与平行线(二).教师版

【例1】 如图，，，，，分别能得出哪两条直线平行？

【解析】∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）

∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）

∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）

∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）

【例2】 如图，直线、被所截，，，，

那么与平行吗？为什么？

【解析】∵，，（已知），

∴，

∴（同旁内角互补，两直线平行）

【例3】 ⑴ 如图，中于，，交于点．过上任意一点，

作于，求证：．

⑵ 如图，和分别在同一直线上，分别交于点．

已知．求证：．

【解析】⑴ ∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∴

⑵ ∵，

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

【例4】 如下右图所示，①已知：，，求证：；

②已知：，，求证：

【解析】①∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）

∵（已知），∴（等量减等量差相等）

∴（内错角相等，两直线平行）

②∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）

又（已知），∴（两直线平行，内错角相等）

∴（等量减等量差相等）

【例5】 ⑴ 已知：如图,点为其内部任意一点，求证：．

⑵ 已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证：．

【解析】       ⑴ 过点作,

∵,（已知）

∴（平行于同一条直线的两直线平行）

∵（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵

∴（等量代换）

⑵ 如图过点做,

∵

∴,

∵

∴

∴

又∵

∴

【例6】 如下图，已知：，，求证：．

【解析】（法1）如图所示，过点作，过点作，

则，则，，

，又因为，所以，

即

（法2）如图所示，延长，相交于点，

∵，∴

∵，     

∴，

∴，∴

如果延长，相交于点，如右图，也可用同样的方法证明

（法3）如右图所示，连接点，

∵，∴，

∵，∴

∴，∴

【例7】 如右图，在折线中，已知，延长、交于点．

试探索与的关系，并说明理由．

【解析】．理由如下：

∵，

∴（内错角相等，两直线平行）．

∵，

∴（内错角相等，两直线平行）．

∴（平行于同一条直线的两直线平行）．

∴（两直线平行，同位角相等）．

又，∴．

【例8】 ⑴ 如图，已知，，，求的度数．

⑵ 已知如右图所示，，求证

【解析】       ⑴ 过点作．

∵且（已知）

∴（平行于同一条直线的两直线平行）

∵且（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵且（已知）

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∴

⑵ 过作，如下图所示，

则有，

因为，

故，，即

【例9】 如图所示，，，证明：．

【答案】证法l：

因为，所以．(两直线平行，同旁内角互补)

过作．

由，得 (平行于同一条直线的两条直线平行)

因为，有 (两直线平行，内错角相等)

又，有，(两直线平行，内错角相等)

所以 (周角定义)

所以 (等量代换)

证法2：

由，得．(两直线平行，同旁内角互补)

过作 （如图）．

由，得.(平行于同一条直线的两条直线平行)

因为  ，所以(两直线平行，同旁内角互补)，

又  ，所以(两直线平行，同旁内角互补)

所以

所以．(等量代换)

【例10】     如图，已知，，，求的度数．

【解析】       如图延长交直线于点

∵，（已知）

（对顶角相等）

∴（等量代换）

∴，（同旁内角互补，两直线平行）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵，（已知）

∴（等量代换）

∴，（同位角相等，两直线平行）

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∵，

∴

【例11】     如图，直线，，，，，

则的大小是           .

【解析】过点，作，的平行线，那么

∵，

∴，

∵，∴

∵在中,

又∵，∴

∴，∴

【例12】     已知，点分别在上．

⑴       间有一点，点在直线左侧，如图1，

求证；

⑵ 当间的点在直线右侧时，如图2，

之间有什么关系？

⑶ 如图3，当点在外侧时，探索之间有何关系？

【答案】⑴ 过点作

∴

∵，   ∴

∴

∴

⑵过点作

∴，

∵．∴

∴，，

∴．

⑶过点作，

∴

∵    ∴．

∴

∴.

知识模块一  平行的性质及判定 课后演练

【演练1】   已知：如图，、交于点，，平分，平分，

那么与平行吗？为什么？

【解析】∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）

∵平分，平分（已知），

∴，从而（内错角相等，两直线平行）

【演练2】   如图，已知，平分，平分，，

求证：．

【解析】 ∵平分，平分，

∴，∴，∴

∵，∴，即

【演练3】   已知：如图，，和互余，于．求证：．

 (北京八中期中)

【证明】   ∵（已知）

∴（同位角相等，两直线平行）

又∵（已知）

∴（两直线平行，同位角相等）

∴（平角定义）

又∵（已知）

∴（等量代换）

∴（内错角相等，两直线平行）

知识模块二  基本模型中平行线的证明  课后演练

【演练4】   如图，已知，，，则        .

【解析】       分别过点，做和的平行线，易得：.

【演练5】   已知如图所示，,，，求的度数.

【解析】过点作直线，因为,所以，

因为，

因为，所以，

因为，所以．

【演练6】   如图，已知，，试判断与的大小关系，

并对结论进行证明．

【解析】       法一：∵，∴

∴，∴

∵，∴

∴，∴