初一数学秋季讲义第13讲平行线的性质及判定

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这是一份初一数学秋季讲义第13讲平行线的性质及判定，共14页。
猩猩最讨厌什么线？定义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“”表示．，等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．若，则；若，则；若，则．平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．若，则；若，则；若，则．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．过直线外一点做，，则与重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．若，则．【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（）A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上都不对 ⑵ 和是同旁内角，若，则的度数是（）A． B． C．或 D. 不能确定 ⑶ 如图，下面推理中，正确的是（）A．∵，∴B．∵，∴ C．∵，∴D．∵，∴(北京三帆中学期中)⑷ 如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝（） A．50°　　　B．40°　　　C．150°　　　D．130° (北京101中期中)⑸ 如图，直线，，为垂足，如果，则的度数是（） A． B． C． D． (北京八中期中)⑹ 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______ (北京八十中期中) ⑺ 如图，和互补，那么图中平行的直线有（） A． B． C． D． (北京十三分期中)⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4(北京十三分期中)⑼ 如图，直线，，，那么的度数是．(北京一六一中期中)⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于．(北京一六一中期中) 【解析】 ⑴D； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°. 【铺垫】多选题：下列说法错误的有（）A：不相交的两条直线是平行线．B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．C：三条直线、、．若，，则；同理，若，，则．D：已知的两边与的两边平行，若，则．E：若，，则．理由是等量代换．F：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．G：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．【解析】 ABCDEF 【例2】 ⑴ 如图，,,请说明，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵，∴（）．∵，∴ （等量代换）．∴ （同旁内角互补，两直线平行）．∴（）．（北京市海淀区期末） ⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，平分交于点，，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵平分， ∴∠3＝∠ （）∵= °，且，∴∠1＋∠2＝90°.又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （）∴∠2＝∠4. （北京市朝阳区期末）⑶ 如图,已知，，求度数．解：∵（　），∴ （　），（　）又∵（　）∴ （　）（　）∴（　）∴ （　）【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等⑶ 已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．【例3】 ⑴ 如图，已知直线，，，则的度数为度． ⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件： . ⑶ 如图，点在的延长线上，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ .能说明的条件有 .⑷ 如图，直线分别与直线、相交于点、，已知，平分交直线于点．则（）A． B． C． D．【解析】 ⑴ ∵，（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补）∴（对顶角相等）．∵（已知），∴（三角形内角和）．⑵ （）等（答案不唯一）⑶ ②④⑤； ⑷ A．【例4】 ⑴ 已知：如图1，平分，，，求．⑵ 已知：如图2，，和互余，于．求证：． (北京八中期中) 图1 图2 【解析】 ⑴ ∵∴∵CD平分∴⑵ 证明：∵（已知）∴（同位角相等，两直线平行）又∵（已知）∴（两直线平行，同位角相等）∴（平角定义）又∵（已知）∴（等量代换）∴（内错角相等，两直线平行）【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果，则的度数是 .⑵如图2，把一张四边形纸片沿对折，使点落在处，与相交于点，若，，，则 .⑶如图3，直线、分别和、相交，若与互余，与的余角互补，，那么 . 图1 图2 图3⑷如右图，已知，，，，则 . 【解析】 ⑴50°；⑵150°；⑶70°；⑷70°. 【备选2】已知，如图，于，于，．求证：. 【解析】，，∵∴∴（同旁内角互补，两直线平行）【备选3】如图，已知、分别垂直于、，且，，求证：. 【解析】 ∵、分别垂直于、∴∴（两直线平行，同位角相等）（垂直的定义）∴∴（内错角相等，两直线平行）【备选4】如图，已知，，试判断与的大小关系，并对结论进行证明．【解析】法一：∵，∴∴，∴∵，∴∴，∴法二：延长，找的同位角，证出，再找的内错角，证出即可．【例5】如图，已知：，直线分别交、于点、，、分别平分、. 求证：．从本题我能得到的结论是：【解析】 ∵，∴又∵、分别平分、∴，∴从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直. 【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（）①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线.A．①② B．③④ C．①⑤ D．②⑤【解析】 D. 在同一条直线上的是①，位置关系是平行的是③④. 模型示例剖析若，则若，则若，则若，则【例6】已知：如图,点为其内部任意一点，求证：．【解析】过点作,∵,（已知）∴（平行于同一条直线的两直线平行）∵,（已知）∴（两直线平行，内错角相等）∵,（已知）∴（两直线平行，内错角相等）∵∴（等量代换）【例7】如图，已知，，，求的度数．【解析】过点作．∵且（已知）∴（平行于同一条直线的两直线平行）∵且（已知）∴（两直线平行，内错角相等）∵且（已知）∴（两直线平行，同旁内角互补）∴ 【拓展】如图所示，已知直线，直线和直线、交于、两点，在、之间有一点，如果点在、之间运动，问、、之间有怎样的关系？这种关系是否发生变化？试着证明你的结论. 【解析】 . 关系不变.提示：过点做直线. 【例8】如图，已知，，，求的度数．【解析】如图延长交直线于点∵，（已知）（对顶角相等）∴（等量代换）∴，（同旁内角互补，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵，（已知）∴（等量代换）∴，（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵，∴【点评】通过辅助线将相关角联系起来. 训练1. 已知的两边，分别与的两边，平行，问与有何关系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？【解析】与相等或互补.证明：根据同向与反向平行，可以分四种情况，如下图所示.⑴ 若，分别与，，同向平行，如图(1)，则；⑵ 若，分别与，，反向平行，如图(2)，则；⑶若与同向平行，与反向平行，如图(3)，则，，；⑷ 若与反向平行，与同向平行，如图(4)，得；综上所述，当与两边分别对应平行时，与或者相等，或者互补.从本题我能得到的结论是：若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 训练2. 如图，,,,则．【解析】 60° 训练3.　已知：如图，、被所截，平分，平分，且．证明：．【解析】 ∵平分，平分（已知），∴,（角平分线性质）．又∵（已知），∴（等量代换）．∴．即∴（同旁内角互补，两直线平行）．训练4. 已知：如图，于点，于点，．证明：平分．【解析】 ∵且（已知）∴（垂直于同一条直线的两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）又∵（已知）∴（等量代换）∴平分. 题型一平行线的定义、性质及判定巩固练习【练习1】已知如图，，，与平行吗？为什么？【解析】 ∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）∵（已知），∴（同位角相等，两直线平行）∴（平行于同一条直线的两直线平行）【练习2】 ⑴ 如图1，，，，则的度数是．⑵ 如图2，直线与直线，相交．若，，则的度数是．⑶ 如图3，直线，，，则的度数为（）A． B． C． D．【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶ C．【练习3】 ⑴ 已知：如图1，，，，求证：． (北京三帆中学期中)证明：∵，（已知）∴∴ （）又∵（已知）∴ （）∴ （）∴（）⑵ 如图2，，，．将求的过程填写完整．(北京四中期中)解：∵，∴ （）又∵∴（）∴ （）∴ （）又∵∴ ．【解析】 ⑴；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．⑵；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；;两直线平行，同旁内角互补；110°．【练习4】如图，已知，平分，平分，，求证：．【解析】 ∵平分，平分，∴，∴，∴∵，∴，即题型二基本模型中平行线的证明巩固练习【练习5】已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证：. 【解析】如图过点做,∵∴,∵∴∴又∵∴