北师大版八年级上册7 二次根式精品复习练习题

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专题2.7 二次根式（一）
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1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
4.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。
知识精讲

知识点01 二次根式的相关概念
【微点拨】
1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识拓展1】二次根式的识别
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，不是二次根式，不合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：、是二次根式，故此选项不合题意；
、是二次根式，故此选项不合题意；
、是二次根式，故此选项不合题意；
、，不是二次根式，故此选项符合题意．故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如（）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．

【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值
例2．（2022·北京朝阳·八年级期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．3 B．7 C．9 D．63
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答．
【详解】解：∵63=7×9，∴，
∵是整数，∴正整数n的最小值是7，故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键．
【即学即练】
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，，解得，
又是整数，a能取的最小整数为0，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．

【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围
例3．（2022·河北保定·八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3−2x≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：3−2x≥0，解得：x≤，故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【即学即练】
3.（2022·山东济宁·八年级期中）若二次根式有意义，则a的取值范围是___________．
【答案】a≥-4
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2a+8≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：2a+8≥0，
解得：a≥-4，
故答案为：a≥-4．
【点睛】此题考查二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值
例4．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（       ）
A．－1 B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【即学即练】
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，
∴n-m=故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　

知识点02 二次根式的性质
【微点拨】
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）

【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值（1）
例1．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后去绝对值化简即可得出答案．
【详解】解：∵x−20220，∴x2022，∴2021−x＜0，
∴原式变形为x−2021＋＝x，∴＝2021，
两边平方得：，∴．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和化简绝对值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建龙岩·七年级期中）已知，求的值．
【答案】2023
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的范围，去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即
∴
故
从而，∴，即．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

【知识拓展2】二次根式的化简绝对值（2）
例2．（2022·山东淄博·八年级期末）已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【详解】解：∵等式成立，∴，解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键．
【即学即练2】
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系化简求解即可．
【详解】∵a，b，c是△ABC的三边，∴，，
∴|a﹣b+c|﹣2故选：B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，化简绝对值和二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．

知识点03 二次根式的乘除法
【微点拨】
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
【知识拓展1】二次根式乘除的运算
例1．（1）（2022·浙江杭州·八年级期中）（1）_____；（2）_____．
【答案】         
【分析】（1）利用二次根式的乘法进行计算即可；（2）利用二次根式的除法进行计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
故答案为：（1）；（2）；
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是关键．
（2）（2022·河南周口·八年级期中）计算：(1)(2)．
【答案】(1)(2)7
【分析】（1）先根据乘法分配律和二次根式的乘法运算法则进行计算，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的除法运算法则和逆用积的乘方运算进行计算，再利用平方差公式计算乘法，化简后合并同类项即可．
（1）解：原式==；
（2）解：原式===8-1=7．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列各式计算正确的是（　　）
A．8 B．3 C．（）2＝10 D．（）2＝﹣3
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘除法法则，乘方法则依次计算判断．
【详解】解：A、，故该选项错误；B、3，故该选项正确；
C、（）2＝5，故该选项错误；D、（）2＝3，故该选项错误；故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式乘除法计算法则，乘方法则是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级期末）计算:(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质计算得出答案；
（2）利用二次根式的乘除运算法则及分母有理化计算得出答案．
（1）解：；
（2）解：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，涉及到二次根式的性质、加减乘除相关运算及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【知识拓展2】二次根式的化简
例2．（2022·河南信阳·八年级期中）化简=_____________________．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：根据题意得b≥0，所以=．故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）化简二次根式：______（）．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件判断得出，然后利用二次根式的性质化简即可得出答案．
【详解】解：，，，
原式；故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质以及化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题关键．

【知识拓展3】分母有理化
例3．（2022·河北保定·八年级期中）化简的结果为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案．
【详解】原式== 故选：A．
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
【即学即练3】
3．（2022·四川·成都实外八年级期中）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：= ；
（2）运用分子有理化，比较大小： ；
（3）计算：的值．
【答案】（1）2；（2）＜；（3）9
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】解：（1）原式＝﹣
＝+2﹣
＝2；
（2）﹣＜﹣．
理由： ，
∵>
∴＜
∴﹣＜﹣．
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和比较大小，解答关键是按照相关法则进行计算．

知识点04 最简二次根式
【微点拨】
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识拓展1】最简二次根式的概念
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期中）下列二次根式是最简二次根式的是(     )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解∶A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
【即学即练1】
1．（2022·河北保定·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意.
B、是最简二次根式，符合题意.C、，不是最简二次根式，不符合题意.
D、不是最简二次根式，不符合题意. 故选：B.
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．

【知识拓展2】化简最简二次根式
例2．（2022·山东滨州·八年级期末）与化为最简二次根式后结果相同的是（        ）
A． B． C．边长为3的等边三角形的高 D．
【答案】C
【分析】利用求算术平方根化简二次根式即可，利用勾股定理求三角形的高并化简．
【详解】，A.，B.，
C.，D.，∴只有C选项符合题意．故选：C．
【点睛】考查了二次根式的化简，求等边三角形一边上的高，关键要掌握二次根式的性质和利用勾股定理求三角形的高．
【即学即练2】
2．（2022·四川广安·八年级期中）化简：_______．
【答案】##
【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果．
【详解】解：原式 故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握分母有理化的法则是解题的关键．

能力拓展

考法01 二次根式的符号化简
【典例1】（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知a